Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. Kẻ AK⊥EF(K∈EF)

Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng tam giác ABC.

https://photos.app.goo.gl/hMy2YA1WJeardkva8

\(\Delta=\left(-m^2\right)^2-4.1\left(m+1\right)=m^4-4m-4\)

Pt có nghiệm nguyên khi \(\Delta=m^4-4m-4\) là số chính phương

Nếu \(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}\Rightarrow\Delta< 0}\) ( loại)

Nếu m=2 => \(\Delta=4=2^2\) ( chọn)

Nếu \(m\ge3\Rightarrow2m\left(m-2\right)>5\Leftrightarrow2m^2-4m-5>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta-\left(2m^2-4m-5\right)< \Delta< \Delta+4m+4\)

\(\Leftrightarrow m^4-2m^2+1< \Delta< m^4\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)^2< \Delta< \left(m^2\right)^2\)

=> \(\Delta\) không là số chính phương

Vậy m=2 

Đặt \(K=\sqrt{49-12\sqrt{5}}-\sqrt{49+12\sqrt{5}}\)\(\Rightarrow K^2=\left(49-12\sqrt{5}\right)+\left(49+12\sqrt{5}\right)-2\sqrt{49^2-\left(12\sqrt{5}\right)^2}\)\(=98-2\sqrt{1681}=98-82=16\)(1)

Dễ có: \(\sqrt{49-12\sqrt{5}}< \sqrt{49+12\sqrt{5}}\)nên \(K=\sqrt{49-12\sqrt{5}}-\sqrt{49+12\sqrt{5}}< 0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra K = -4

\(\sqrt{49-12\sqrt{5}}-\sqrt{49+12\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{45-12\sqrt{5}+4}-\sqrt{45+12\sqrt{5}+4}\)

\(=\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2-2.2.3\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2+2.2.3\sqrt{5}+2^2}\)

\(=\sqrt{\left(3\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{\left(3\sqrt{5}+2\right)^2}\)

\(=\left|3\sqrt{5}-2\right|-\left|3\sqrt{5}+2\right|=\left(3\sqrt{5}-2\right)-\left(3\sqrt{5}+2\right)\)

\(=3\sqrt{5}-2-3\sqrt{5}-2=-4\)

18 phút = 0,3 giờ

Gọi vận tốc ban đầu là x

Thời gian dự định là \(\frac{336}{x}\)

Nửa quãng đường ab là 336:2=168 km

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(\frac{168}{x}\)

Vận tốc nửa quãng đường sau là x+2 nên thời gian đi nửa quãng đường sau là \(\frac{168}{x+2}\)

Ta có phương trình

\(\frac{168}{x}-\frac{168}{x+2}=0,3\Leftrightarrow x^2+3x-1120=0\) Giải PT bậc 2 ta được x=32

Vậy vận tốc ban đầu là 32 km/h

Thời gian xe lăn bánh trên đường là

\(\frac{168}{32}+\frac{168}{32+2}=10\frac{13}{68}\) giờ

Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh vườn là x và y ( m ; x > y ; x > 3 ; y > 2 )

Diện tích ban đầu = xy ( m² )

Tăng chiều dài 1m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích giảm 20m² so với quy định

=> ( x + 1 )( y - 2 ) = xy - 20

<=> xy - 2x + y - 2 - xy + 20 = 0

<=> -2x + y = -18 (1)

Giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng 4m thì diện tích tăng 12m² so với dự định

=> ( x - 3 )( y + 4 ) = xy + 12

<=> xy + 4x - 3y - 12 - xy - 12 = 0

<=> 4x - 3y = 24 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}-2x+y=-18\\4x-3y=24\end{cases}}\)

Giải hệ ta thu được x = 15 và y = 12

Hai nghiệm trên thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy diện tích mảnh vườn ban đầu = xy = 15.12 = 180m²

Gọi x(m) là chiều rộng của mảnh vườn ban đầu

      y(m) là chiều dài của mảnh vườn ban đầu

=> Diện tích ban đầu của mảnh vườn là x.y (m)

Ta có: Nếu tăng chiều dài thêm 1m và giảm chiều rộng 2m thì mảnh vườn giảm 20m ² so với dự định

=> (y+1).(x-2)=xy-20

<=> xy -2y+x -2= xy-20

<=> x-2y=-18 (1)

Nếu giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng thêm 4m thì diện tích mảnh vườn tăng 12m ² so với dự định .=> (y-3).(x+4)=xy+12

<=> xy +4y-3x-12=xy+12

<=> -3x+4y=24 (2)

Từ (1);(2) ta giải hệ pt được x=12; y=15

Diện tích mảnh vườn bác An dự định ban đầu là x.y=12.15=180 m²

Bài 11 : 

Cosi 3 số ta được : \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{a}}=3\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=1\)

lm câu 13 cj ơi :(( câu 11 em bt ồi :((

Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)

\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)

Từ (1); (2) và (3) =>A =  \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)

      Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)

cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)