Ta có: \(\left(x+2y\right)\left(3x+4y\right)=96\) ( x,y nguyên)

Lại có: \(3x+4y-\left(x+2y\right)=2x+2y\) ( chẵn)

=> 3x+4y , x+2y cùng chẵn hoặc cùng lẻ ( 1)

Mà (x+2y)(3x+4y)=96 chẵn 

=> 3x+4y, x+2y cùng chẵn hoặc là một chẵn 1 lẻ ( 2)

Từ (1) và (2) => 3x+4y, x+2y cùng chẵn

Ta có bảng sau: 

Vậy ...

x=4; y=1

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx+\left(m-1\right)y=3m+4\\\left(d_2\right):2mx+\left(m+1\right)y=m-4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx-3m-4=\left(1-m\right)y\\\left(d_2\right):2mx+4-m=-\left(m+1\right)y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):\frac{m}{1-m}x-\frac{3m+4}{1-m}=y\\\left(d_2\right):-\frac{2m}{m+1}x+\frac{m-4}{m+1}=y\end{cases}}\) khi đó ta có:

Để (d₁) // (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}\ne\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=3\) 

Đề (d₁) cắt (d₂) thì: \(\frac{m}{m-1}\ne\frac{2m}{m+1}\Rightarrow m\ne\left\{0;3\right\}\)

Để (d₁) trùng (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}=\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=0\)

m=0,m=3

Toạ độ giao điểm của các đường thẳng mx-2y=3 và 3x+my =4 là nghiệm của hpt \(\hept{\begin{cases}mx-2y=3\\3x+my=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3mx-6y=9\\3mx+m^2y=4m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+6\right)y=4m-9\\3x+my=4\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x+\frac{4m^2-9m}{m^2+6}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=4-\frac{4m^2-9m}{m^2+6}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=\frac{9m+24}{m^2+6}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3m+8}{m^2+6}\\y=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{cases}}\)

Để giao điểm nằm trong góc phần tư IV 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\\frac{4m-9}{m^2+6}< 0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3m+8>0\\4m-9< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>\frac{-8}{3}\\m< \frac{9}{4}\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-8}{3}< m< \frac{9}{4}\)

Để \(m\inℤ\Rightarrow m\in\left\{0,\pm1,\pm2\right\}\)

5

Gọi số sản phẩm mà hai tổ làm được trong tháng trước lần lượt là x và y.

Tổng số sản phẩm mà hai tổ làm được trong tháng trước là: x+y=1000 (1)

Số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng này là: 

x−15%x

Số sản phẩm tổ 21 làm được trong tháng này là: 

y+15%y

Tổng số sản phẩm hai tổ làm được trong tháng này là: 

(x−15%x)+(y+15%y)=1030 (2)

Giải (1) và (2), ta được: 

x=400; y=600

Vậy sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng này là: 340sp

Sản phẩm tổ 2 làm được trong tháng này là 690sp

Gọi số xe to hoặc số xe nhỏ lần lượt là \(a,b\)(xe) (\(a,b\inℕ^∗\)) 

Theo bài ra, ta có hệ phương trình: 

\(\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{180}{a}-\frac{180}{b}=15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{180}{b-2}-\frac{180}{b}=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{360}{b\left(b-2\right)}=15\end{cases}}}\)

\(\frac{360}{b\left(b-2\right)}=15\Rightarrow15b\left(b-2\right)=360\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=6\left(tm\right)\\b=-4\left(l\right)\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}a=4\\b=6\end{cases}}\). 

số xe to là 4

số xe nhỏ là 6

Gọi số người dự họp và số ghế có trong phòng lần lượt là \(a,b\)(\(a,b\inℕ\)) 

Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}a=5b+9\\a=6b-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=59\\b=10\end{cases}}\)(thỏa mãn)

Ta dễ có bất đẳng thức: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+c^2+2ac+b^2+d^2+2bd\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)(**)

Nếu ac + bd < 0 thì bất đẳng thức (**) luôn đúng

Nếu ac + bd\(\ge\)0 thì (**)\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy (*) được chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\)\(=\sqrt{\left(b^2-ab+\frac{a^2}{4}\right)+\frac{3a^2}{4}}+\sqrt{\left(b^2-bc+\frac{c^2}{4}\right)+\frac{3c^2}{4}}\)\(=\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3a^2}{4}}+\sqrt{\left(\frac{c}{2}-b\right)^2+\frac{3c^2}{4}}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{c}{2}-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3\left(a+c\right)^2}{4}}=\sqrt{a^2+ac+c^2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

\(ĐK:x\ne-y\)

Ta có: \(8\left(x^2+y^2\right)+4xy=13-\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)\(\Leftrightarrow5\left(x^2+2xy+y^2\right)+3\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10=23\)\(\Leftrightarrow\left(5\left(x+y\right)^2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10\right)+3\left(x-y\right)^2=23\)\(\Leftrightarrow5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\)(1)

Lại có: \(2x+\frac{1}{x+y}=1\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\\\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\end{cases}}\)(*)

Đặt \(x+y+\frac{1}{x+y}=u;x-y=v\)thì hệ (*) trở thành \(\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\\u+v=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\left(3\right)\\v=1-u\left(4\right)\end{cases}}\)

Thay (4) vào (3), ta được: \(5u^2+3\left(1-u\right)^2=23\Leftrightarrow2\left(u-2\right)\left(4u+5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2\\u=-\frac{5}{4}\end{cases}}\)

* Th1: \(u=2\Rightarrow v=-1\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=2;x-y=-1\)

Thay x = y - 1 vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=2\)ta được: \(2y-1+\frac{1}{2y-1}=2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2=0\Leftrightarrow y=1\)(t/m \(y\ne\frac{1}{2}\)) suy ra x = 0

* Th2: \(u=-\frac{5}{4}\Rightarrow v=\frac{9}{4}\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4};x-y=\frac{9}{4}\)

Thay \(x=y+\frac{9}{4}\)vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4}\)ta được: \(2y+\frac{9}{4}+\frac{1}{2y+\frac{9}{4}}=-\frac{5}{4}\)(dễ thấy phương trình này vô nghiệm)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(0,1\right)\)