\(I=\int\dfrac{x^2+4-x^2}{4\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\)

Xét \(J=\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{x}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+4}}+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+4}}+C\)

\(\Leftrightarrow log_5\left(5x^2+5\right)\ge log_5\left(mx^2+4x+m\right)\)

BPT nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x^2+5\ge mx^2+4x+m\\mx^2+4x+m>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x^2-4x+5\ge m\left(x^2+1\right)\\m\left(x^2+1\right)>-4x\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}\\m>-\dfrac{4x}{x^2+1}\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\min\limits_{x\in R}\left(\dfrac{x^2-4x+1}{x^2+1}\right)\\m>\max\limits_{x\in R}\left(-\dfrac{4x}{x^2+1}\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}=\dfrac{3\left(x^2+1\right)+2\left(x-1\right)^2}{x^2+1}=3+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge3\)

\(\Rightarrow\min\limits_{x\in R}\left(\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}\right)=3\)

\(-\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2\left(x+1\right)^2}{x^2+1}=2-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\le2\)

\(\Rightarrow\max\limits_{x\in R}\left(\dfrac{-4x}{x^2+1}\right)=2\)

\(\Rightarrow2< m\le3\)

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow mx^2-2x+3+2m=x+m$

$\Leftrightarrow mx^2-3x+(3+m)=0(*)$

Để pt ban đầu có 2 nghiệm trái dấu thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm trái dấu.

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta=9-4m(m+3)>0\\ \frac{3+m}{m}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4m^2+12m-9<0\\ -3< m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-3-3\sqrt{2}}{2}< m< \frac{-3+3\sqrt{2}}{2}\\ -3< m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -3< m<0\)

29.

Đồ thị hàm \(y=c^x\) đi xuống nên hàm nghịch biến \(\Rightarrow c< 1\)

Hai đồ thị còn lại đều đi lên \(\Rightarrow a;b>1\)

Đồ thị \(y=b^x\) dốc hơn \(\Rightarrow b>a\)

Vậy \(b>a>c\)

31.

Gọi số năm người đó thu được tổng tiền 20 triệu là x

\(\Rightarrow9,8.\left(1+8,4\%\right)^x=20\)

\(\Rightarrow x=log_{1,084}\left(\dfrac{20}{9,8}\right)\approx9\) năm

32.

Gọi x là số tháng người đó trả hết nợ ngân hàng

\(\Rightarrow Ar.\left(1+r\right)^x=X.\left(1+r\right)^x-X\)

\(\Rightarrow\left(1+0,7\%\right)^x=\dfrac{5}{5-100.0,7\%}=\dfrac{50}{43}\)

\(\Rightarrow x=log_{1,007}\left(\dfrac{50}{43}\right)\approx22\) tháng

33.

Số tiền thu mẹ VN thu được ở cuối tháng thứ x là:

\(4.\left[\left(1+1\%\right)^1+\left(1+1\%\right)^2+...+\left(1+1\%\right)^x\right]=\dfrac{4.\left(1+1\%\right).\left[\left(1+1\%\right)^x-1\right]}{1\%}\)

Đầu tháng 12 mẹ VN đi lĩnh tiền nên được hưởng 11 tháng có lãi và tháng 12 ko có lãi, do đó tổng tiền là:

\(\dfrac{4\left(1+1\%\right).\left[\left(1+1\%\right)^{11}-1\right]}{1\%}+4=50,73\) (triệu đồng)

Đáp án C đúng rồi mà nhỉ.

Dạ vâng em cảm ơn ạ chắc đề sai ạ

\(I=\int\limits^3_2\dfrac{ln\left(x^3-3\right)}{x^4}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x^3-3\right)\\dv=\dfrac{1}{x^4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{3x^2}{x^3-3}\\v=-\dfrac{1}{3x^3}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{x^3-3}{9x^3}\end{matrix}\right.\)

(khi lựa chọn v chúng ta sử dụng 1 mẹo nho nhỏ là \(\left[f'\left(x\right)+k\right]'=f'\left(x\right)\) với k là hằng số bất kì, nghĩa là thêm bớt hằng số vào v ko làm thay đổi bài toán, từ đó trong 1 số bài khi tính tích phân từng phần ta có thể linh hoạt thêm 1 hằng số vào v sao cho kết quả \(v.du\) gọn nhất có thể)

\(\Rightarrow I=\dfrac{\left(x^3-3\right)}{9x^3}.ln\left(x^3-3\right)-\int\dfrac{1}{3x}dx=\dfrac{\left(x^3-3\right)ln\left(x^3-3\right)}{9x^3}-\dfrac{1}{3}lnx\)

Tới đây thế cận tính toán là xong

Gợi ý:

Đổi biến nhìn cho gọn nhé:

Đặt $u=x+1$, vậy $u \in [2;3]$ ($du=dx$).

Ta cần tìm: \(\int\dfrac{ln\left(u^3-3\right)}{u^4}du\)

\(=\int ln\left(u^3-3\right).u^{-4}du\)

\(=\int ln\left(u^3-3\right)u^{-4}du\)

\(=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}\right)\left(u\right)^{-3}-\int\left(\dfrac{-1}{3}\left(u\right)^{-3}\right).\dfrac{1}{u^3-3}.3u^2du\)

Đặt \(A=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}u^{\left(-3\right)}\right)|_2^3=...\) (Chỗ này em tự tính nốt nhé!).

\(B=-\dfrac{1}{3}.\int_2^3\dfrac{1}{u^3}.\dfrac{1}{u^3-3}3u^2du\)

Đến đây, để tính $B$, em đặt ẩn phụ $v=u^3$ ,$v \in [8;27]$, $dv=3u^2du$.

Điều kiện $\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\ &m\sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x} > 0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\&m\sqrt x-(1-x)>0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\ &m>\dfrac{(1-x)}{\sqrt{x}}>0\end{aligned}\right.$.

Bất phương trình đã cho tương đương

$\log x^3 \leq \log \left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right)^2$

$\Leftrightarrow x^3 \leq\left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right)^2 $

$\Leftrightarrow x \sqrt{x} \leq\left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right) $

$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{x \sqrt{x}+(1-x) \sqrt{1-x}}{\sqrt{x-x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}$. 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\sqrt{1-x}\right)+\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right) \geq 2 \sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$.

Suy ra $m \geq \sqrt{x}+\sqrt{1-x}$.

Khảo sát hàm số $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ trên $(0 ; 1)$ ta được $f(x) \geq \sqrt{2} \approx 1,414$.

Vậy $m$ có thể nhận các giá trị $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$.

Chú ý là hàm bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu (chỉ tăng hoặc giảm) trên 1 đoạn xác định.

Do đó, chắc chắn min và max luôn rơi vào 2 đầu mút (ko biết đâu là min đâu là max, nhưng 1 đầu luôn là max 1 đầu luôn là min)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;2\right]}y+\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)+y\left(2\right)=m+1+\dfrac{m+2}{2}=8\)

\(\Rightarrow m=4\)

nếu có  đáp án là m>4 hoặc 2<m<=4  thì làm sao

6A

7A

8A

9B

10A

11B