Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$abc\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$
$\Rightarrow abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Như vậy đề có vẻ sai sai đó bạn.

Đề tham khảo chắc chưa được thẩm định kĩ.

\(\left\{{}\begin{matrix}45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=S\\60\left(t-\dfrac{3}{4}\right)=S\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=60\left(t-\dfrac{3}{4}\right)\\S=45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=4\left(t-\dfrac{3}{4}\right)\\S=45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3t+1,5=4t-3\\S=45\left(t+0,5\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-t=-4,5\\S=45\left(t+0,5\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}t=4,5\\S=45\left(4,5+0,5\right)=45\cdot5=225\end{matrix}\right.\)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF\(\perp\)FE tại F

=>CF\(\perp\)AE tại F

Xét ΔCAE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(AF\cdot AE=AC^2\)

=>\(AF\cdot AE=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AF\cdot AE=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

Xét ΔAFH và ΔAOE có

\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

\(\widehat{FAH}\)chung

Do đó: ΔAFH~ΔAOE

=>\(\widehat{AFH}=\widehat{AOE}\)

mà \(\widehat{AFH}+\widehat{EFH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EOH}+\widehat{EFH}=180^0\)

=>EOHF là tứ giác nội tiếp

ai giúp e với ạ :*(

a: Xét (O) có

ΔPEQ nội tiếp

PQ là đường kính 

Do đó: ΔPEQ vuông tại E

Xét tứ giác HEQS có \(\widehat{HEQ}+\widehat{HSQ}=90^0+90^0=180^0\)

nên HEQS là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔSPH vuông tại S và ΔSFQ vuông tại S có

\(\widehat{SPH}=\widehat{SFQ}\left(=90^0-\widehat{Q}\right)\)

Do đó: ΔSPH~ΔSFQ

=>\(\dfrac{SP}{SF}=\dfrac{SH}{SQ}\)

=>\(SP\cdot SQ=SH\cdot SF\)

ai giúp mik nhanh vs ạ mik tick

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-6m-7\right)\)

\(=4\left(m^2-6m+9\right)+4\left(6m+7\right)\)

\(=4m^2-24m+36+24m+28\)

\(=4m^2+64>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-3\right);x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-6m-7\)

\(C=\left(x_1+x_2\right)^2+8x_1x_2\)

\(=\left(2m-6\right)^2+8\left(-6m-7\right)\)

\(=4m^2-24m+36-48m-56\)

\(=4m^2-72m-20\)

\(=4\left(m^2-18m-5\right)\)

\(=4\left(m^2-18m+81-86\right)\)

\(=4\left(m-9\right)^2-344>=-344\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=9

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=OH\cdot HM\)

=>\(OH\cdot HM=AH\cdot HB\)

b: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)CD tại I

Xét tứ giác OHNI có \(\widehat{OHN}+\widehat{OIN}=90^0+90^0=180^0\)

nên OHNI là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác OCKI có \(\widehat{OIC}=\widehat{OKC}=90^0\)

nên OCKI là tứ giác nội tiếp