a) Gọi O là trung điểm của CD.

Do E nằm trên đường tròn (O) nên ^DEC=90o hay DE⊥AC.

Thế thì DE//AB.

Gọi M là trung điểm AE, xét hình thang ABDE có: H là trung điểm BD và M là trung điểm AE nên HM là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HM//AB//DE hay HM⊥AE.

Suy ra tam giác HAE cân tại H hay ^HEA=^HAE.

Tam giác OEC cân tại O nên ^OEC=^OCE.

Từ đó ta có: ^HEA+^OEC=^HAE+^OCE=90o.

Suy ra ^OEH=180o−90o=90o.
Vậy nên $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

BC=√AB2+AC2=17(cm)

Do tam giác HAE cân tại H nên:

HE = AH = (AB*AC)/BC=120/17

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Do E nằm trên đường tròn (O) nên $\widehat{DEC}=90^o$ hay $DE\perp AC$.

Thế thì DE//AB.

Gọi M là trung điểm AE, xét hình thang ABDE có: H là trung điểm BD và M là trung điểm AE nên HM là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HM//AB//DE hay $HM\perp AE.$

Suy ra tam giác HAE cân tại H hay $\widehat{HEA}=\widehat{HAE}$.

Tam giác OEC cân tại O nên $\widehat{OEC}=\widehat{OCE}$.

Từ đó ta có: $\widehat{HEA}+\widehat{OEC}=\widehat{HAE}+\widehat{OCE}=90^o.$

Suy ra $\widehat{OEH}=180^o-90^o=90^o.$
Vậy nên $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=17\left(cm\right)$

Do tam giác HAE cân tại H nên:

HE = AH = $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB.AC}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{17}.$

ummmms

a) Ta thấy tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b)  Gọi O là trung điểm của AH và K là giao điểm của AH với BC. Do H là trực tâm nên ta có ngay AK là đường cao của tam giác ABC.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:
^OEH=^OHE=^KHC; ^MEC=^MCE.
mà ^KHC+^MCE=90o.
Suy ra: ^OEH+^MEC=90o nên OE⊥EM hay ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.

bằng nóng

????????????

a) Kẻ OP ⊥ AM, OQ ⊥ BN

Ta có: AM = BN (Giả thiết)

Suy ra: OP = OQ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCP và OCQ, ta có:

Góc OPC= góc OQC=90^∘

         OC chung

         OP = OQ (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCP = ∆OCQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₁= góc O₂

Xét hai tam giác OAP và OBQ, ta có:

Góc OPA= góc OQB=90^∘

          OA = OB

          OP = OQ ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAP = ∆OBQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₃= Góc O₄

Suy ra:   Góc O₁+góc O₃= Góc O₂+ góc O₄ hay Góc AOC= Góc BOC

Vậy OC là tia phân giác của  Góc AOB

b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC ⊥ AB.

Ta có : \(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+3\right)=\left(-2m-2\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)

\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\)

Để phương trình có nghiệm \(8m-8>0\Leftrightarrow m< 1\)

\(8m-8=0\Leftrightarrow m=1\)

Theo Vi et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m+2}{1}=2m+2\\x_1x_1=\frac{c}{a}=m^2+3\end{cases}}\)

\(P=2m+2+m^2+3=m^2+2m+5\)

\(=m^2+2m+1+4=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)

Dấu ''='' xảy ra <=> m = -1 

Vậy GTNN P là 4 <=> m =-1 

Để phương trình 1 có nghiệm \(=>\Delta\ge0\)

\(\Delta=4.\left(m+1\right)^2-4.\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\ge0=>m\ge1\)

Cho phương trình x² + ( m - 3 )x - 2m - 1 = 0 (1)

a) Với m = 1, thay vào (1) ta được pt : x² - 2x - 3 = 0

Dễ thấy pt trên có a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0

nên pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = -c/a = 3

Vậy với m = 1 thì pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = 3

b) Xét Δ ta có :

Δ = b² - 4ac = ( m - 3 )² - 4( -2m - 1 ) 

= m² - 6m + 9 + 8m + 4 

= m² + 2m + 13

Dễ thấy Δ = m² + 2m + 13 = ( m + 1 )² + 12 ≥ 12 > 0 ∀ m

hay (1) luôn có hai nghiệm với mọi m (đpcm)

c) lỗi quá e k nhìn rõ đề

a, Thay m = 1 vào phương trình ta được :

\(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x^2-2x+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy với m = 1 thì x = -1 ; x = 3 

b, \(x^2+\left(m-3\right)x-2m-1=0\Leftrightarrow x^2+\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)=0\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2+4\left(2m+1\right)=m^2-6m+9+8m+4\)

\(=m^2+2m+13=m^2+2m+\frac{1}{4}+\frac{51}{4}\)

\(=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{51}{4}>0\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m