(Thái Bình)
Cho ba số dương \(a,b,c\) thay đổi thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\).
Tìm GTNN của biểu thức \(P=2\left(a+b+c\right)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
AA
0
23 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge2\sqrt{\frac{3}{x}\cdot\frac{9}{y}}=2\sqrt{\frac{27}{3}}=6\)(1)
\(3x+y\ge2\sqrt{3xy}=6\)=> \(\frac{26}{3x+y}\le\frac{13}{3}\)<=> \(-\frac{26}{3x+y}\ge-\frac{13}{3}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}-\frac{26}{3x+y}\ge6-\frac{13}{3}=\frac{5}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{9}{y}\\3x=y\\xy=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Vậy GTNN của P = 5/3
10 tháng 2 2022
- Theo giả thiết a,b>0a,b>0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được
a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2a4+b2≥2a2b⇒a4+2ab2+b2≥2a2b+2ab2
\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)⇒a4+2ab2+b2≥2ab(a+b)
\Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}⇒a4+2ab2+b21≤2ab(a+b)1, (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=ba=b)
- Tương tự \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}a2+2a2b+b41≤2ab(a+b)1 , (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=ba=b)
- Từ đó Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}Q≤ab(a+b)1
- Giả thiết \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2(a+b)(a+b−1)=a2+b2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}a+b=2ab⇔ab=2a+b(*)
- Do đó Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}Q≤(a+b)22
- Mà ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}ab≤4(a+b)2 nên \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge22a+b≤4(a+b)2⇒a+b≥2 (do giả thiết a,b>0a,b>0 ).
- Vì vậy Q\le\frac{2}{2^2}Q≤222
GTNN là \frac{1}{2}21 đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.{a=ba+b=2\Leftrightarrow a=b=1⇔a=b=1
10 tháng 2 2022
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
AK
0
23 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{16z}=\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{\frac{1}{16}}{z}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2}{x+y+z}=\frac{\frac{49}{16}}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{16}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{1}{21}\end{cases}}\). Vậy GTNN của S = 49/16