\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2m\right)=1>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-1=m\\x_2=m+1+1=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left|m\right|=3\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m+6=-m\\3m+6=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Bài 1.4

a. Mệnh đề: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì trung tuyến AI bằng nửa cạnh BC

Mệnh đề này đúng. Đây là 1 tính chất quen thuộc bạn đã được học ở lớp 9

b. Mệnh đề: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi trung tuyến AI bằng nửa cạnh BC

Mệnh đề này đúng. 

Chiều thuận: Đã cm tại phần a.

Chiều đảo. Áp dụng công thức tính trung tuyến:

$AI^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=(\frac{BC}{2})^2$

$\Leftrightarrow \frac{AB^2+AC^2}{2}=\frac{BC^2}{2}$

$\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2$ 

$\Leftrightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (theo định lý Pitago đảo)

Bài 1.15 a. 

$(2x-x^2)(2x^2-3x-2)=0$
$\Leftrightarrow x(2-x)(x-2)(2x+1)=0$

$\Leftrightarrow -x(x-2)^2(2x+1)=0$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$

$A=\left\{\frac{-1}{2}; 0;2\right\}$

----------------

$3< x^2< 30\Rightarrow 1< x^2< 36$

Với $x>0$ $\Rightarrow 1< x< 6$

$x$ tự nhiên $\Rightarrow x\in\left\{2;3;4;5\right\}$

Vậy $B=\left\{2;3;4;5\right\}$

Do đó:

$A\cap B=\left\{2\right\}$

$A\cup B=\left\{\frac{-1}{2}; 0;2;3;4;5\right\}$

$A\setminus B=\left\{\frac{-1}{2}; 0\right\}$

$B\setminus A=\left\{3;4;5\right\}$

Bài 1.15b.

Có lẽ đề nhầm. $x^4-7x-18=0$ nghiệm xấu và không phù hợp với tổng thể chung. Mình thấy đề là $x^4-7x^2-18=0$ đúng hơn.

$x^4-7x^2-18=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(x^2-9)=0$

$\Rightarrow x^2-9=0$

$\Leftrightarrow x=\pm 3$

Vậy $A=\left\{-3;3\right\}$

----------------

$|x|< 4\Leftrightarrow -4< x< 4$. Vì $x$ nguyên nên $x\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

Vậy $B=\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

Do đó:

$A\cap B=\left\{-3;3\right\}$

$A\cup B=\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

$A\setminus B=\varnothing 

$B\setminus A=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}$

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow\) ABCD là hình bình hành

Vậy D là đỉnh của hình bình hành ABCD

\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}\Rightarrow\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow A\) là trung điểm CE hay E là điểm đối xứng C qua A

Bài 1:

\(\Delta=5^2-4\left(3m-1\right)=29-12m\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

\(ac< 0\Rightarrow3m-1< 0\Rightarrow m< \dfrac{1}{3}\)

b. Pt có 2 nghiệm âm pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2=-5< 0\\x_1x_2=3m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{29}{12}\\m>\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{3}< m< \dfrac{29}{12}\)

c. Pt có 2 nghiệm dương pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2=-5>0\left(ktm\right)\\x_1x_2=3m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 2:

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-m\left(m+1\right)=5m+9\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

\(ac< 0\Leftrightarrow m\left(m+1\right)< 0\Rightarrow-1< m< 0\)

b. Phương trình có 2 nghiệm âm pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=5m+9>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+3\right)}{m}< 0\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m>-\dfrac{9}{5}\\-3< m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{9}{5}< m< -1\)

c. Pt có 2 nghiệm dương pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=5m+9>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+3\right)}{m}>0\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m>-\dfrac{9}{5}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>0\)

a: {2;3;5;7;11;13;17;19}

a)\(S=\left\{2;3;5;7;11;13;17;19\right\}\)

b)\(A=\left\{\dfrac{1}{3};3\right\}\)

c)\(B=\left\{0;1;2;3\right\}\)

d)\(C=\left\{1\right\}\)

e)\(D=\left\{\varnothing\right\}\)

f)\(D=\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right\}\)

ta có :

\(A=\frac{67^{2016}}{67^{2016}-11}=1+\frac{11}{67^{2016}-11}\)

\(B=\frac{67^{2016}+13}{67^{2016}+2}=1+\frac{11}{67^{2016}+2}\)

Vì \(67^{2016}-11< 67^{2016}+2\Rightarrow A>B\)

Lời giải:

Vì $A, B\in (d)$ nên:

\(\left\{\begin{matrix} y_A=ax_A+b\\ y_B=ax_B+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2=-a+b\\ -1=3a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{-7}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy PTĐT $(d)$ là: $y=\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}$

PTĐT $(d')$ song song với $(d)$ có dạng: $y=\frac{1}{4}x+m$ với $m\neq \frac{-7}{4}$

\(A\cap B=\varnothing;A\cup B=\left\{-3;1;5;6\right\}\)

\(A\B=\left\{-3;5\right\}\\ B\A=\left\{1;6\right\}\)