\(K=\left(\sqrt{35}+5\right)\sqrt{6-\sqrt{35}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}K=\left(\sqrt{35}+5\right)\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)

mà \(\sqrt{12-2\sqrt{35}}=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2\sqrt{7.5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{5}\)vì \(\sqrt{7}-\sqrt{5}>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}K=\left(\sqrt{35}+5\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow K=\frac{7\sqrt{5}-5\sqrt{7}+5\sqrt{7}-5\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(7\sqrt{5}-5\sqrt{7}\right)}{2}\)

\(=\frac{7\sqrt{10}-5\sqrt{14}}{2}\)

a, \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{7-2\sqrt{5.2}}=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5.2}+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\)vì \(\sqrt{5}-\sqrt{2}>0\)

b, \(\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{6}{3+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}-7}{\sqrt{7}-1}\)

\(=\frac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}{4}+\frac{6\left(3-\sqrt{3}\right)}{6}+\frac{\sqrt{7}\left(1-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}-1}\)

\(=\sqrt{7}+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-\sqrt{7}=3\)

a, √7−2√10=√7−2√5.2=√(√5)2−2√5.2+(√2)2

=√(√5−√2)2=√5−√2vì √5−√2>0

b, 4√7−√3 +63+√3 +√7−7√7−1 

=4(√7+√3)4 +6(3−√3)6 +√7(1−√7)√7−1 

=√7+√3+3−√3−√7=3

Thể tích nước bị chiếm chỗ hay thể tích của viên bi là: 

\(6^2\pi.1=36\pi\left(cm^3\right)\)

Bán kính bi là \(R\left(cm\right)\)thì \(\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi\Leftrightarrow R=3\left(cm\right)\). 

Thể tích nước bị chiếm chỗ hay thể tích của viên bi là: 

62π.1=36π(cm3)

Bán kính bi là R(cm)thì 43 πR3=36π⇔R=3(cm)

\(Q=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{y+1}=\frac{1}{x+2}+\frac{4}{2y+2}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2+2y+2}=\frac{3^2}{10+4}=\frac{9}{14}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+2y=10\\\frac{1}{x+2}=\frac{2}{2y+2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=\frac{11}{3}\end{cases}}\).

a, Ta có : \(x=\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}+\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}=4\)

Thay x = 4 => \(\sqrt{x}=2\) vào B ta được : 

\(B=\frac{2+5}{2-3}=-7\)

b, Ta có : Với \(x\ge0;x\ne9\)

\(A=\frac{4}{\sqrt{x}+3}+\frac{2x-\sqrt{x}-13}{x-9}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{4\left(\sqrt{x}-3\right)+2x-\sqrt{x}-13-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}-12+2x-\sqrt{x}-13-x-3\sqrt{x}}{x-9}=\frac{x-25}{x-9}\)

Lại có \(P=\frac{A}{B}\Rightarrow P=\frac{\frac{x-25}{x-9}}{\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}}=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\)

Gọi vận tốc của hai người ban đầu là x (km/h) (x > 0 )

Sau khi đi 1 giờ, quãng đường còn lại là 60 - x (km)

Thời gian người thứ nhất đi quãng đường đó là : 

Thời gian người thứ hai đi quãng đường đó là: 

Theo bài ra ta có phương trình: 

Giải ta ta tìm được x = 20 (km/h).

Ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).

Áp dụng ta được: 

\(A=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{4}{\left(y+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(y+2\right)^2}{2^2}}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)

\(\ge\frac{8}{\left(x+1+\frac{y+2}{2}\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\ge\frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5\right)^2}=\frac{256}{\left(2x+y+2z+10\right)^2}\)

Ta có: \(2x+4y+2z\le x^2+1+y^2+4+z^2+1=x^2+y^2+z^2+6\le3y+6\)

\(\Rightarrow2x+y+2z\le6\)

Suy ra \(A\ge\frac{256}{\left(6+10\right)^2}=1\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=z=1,y=2\).