Với x > 0 

\(M=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow\frac{2-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)

\(\Rightarrow2-\sqrt{x}>0\)do \(2\sqrt{x}>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}>-2\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow0\le x< 4\)

Kết hợp với giả thiết vậy \(0< x< 4\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Xét n=0 ta có 

\(3^{2^{4n+1}}+2=3^{2^1}+2=11\text{ chia hết cho 11}\)

Giả sử điều trên đúng với n=k tức là \(3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11hay }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod\left(11\right)\)

Xét n=k+1

\(3^{2^{4k+5}}=3^{2^{4k+1}\times2^4}\equiv9^{2^4}mod11\left(\text{ do }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\right)\)

mà \(9^{2^4}=9^{16}=3^{32}\equiv3^2mod11=9mod11\text{ Do }3^{30}\equiv1mod11\)

Vậy \(3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\Rightarrow3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11}\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh

Để chứng minh C,O,E thẳng hàng ta cần chứng minh AK,BG,CE đồng quy

Gọi giao điểm của BG và AC là F; giao điểm của CE và AB là I

Xét tam giác ABC vuông tại A :

\(AB^2=BK.BC;AC^2=CK.BC\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BK}{CK}\)

Mặt khác: EB//AC =>\(\frac{IA}{IB}=\frac{AC}{EB}\); CG//AB=> \(\frac{FC}{FA}=\frac{AB}{CG}\)

Suy ra: \(\frac{IA}{IB}.\frac{BK}{CK}.\frac{FC}{FA}=\frac{AC}{EB}.\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{CG}{AB}=\frac{AB.CG}{EB.AC}=1\)

Theo định lí CEVA CI,BF,AK đồng quy 

Hay AK,BG,CE đồng quy (đpcm)

BG cắt AK tại O 

Nhầm :)))

Hôm qua vẽ cái hình xong ấn nhầm load mất nản không định làm. Thế mà hôm nay vẫn chưa ai làm:vvv

Ta có: \(\frac{PD}{AD}=\frac{S_{BDP}}{S_{BDA}}=\frac{S_{CDP}}{S_{CDA}}=\frac{S_{BDP}+S_{CDP}}{S_{BDA}+S_{CDA}}=\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}\) dễ hiểu đúng không??

Tương tự: \(\frac{PE}{BE}=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}}\) và \(\frac{PF}{CF}=\frac{S_{APB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{PD}{AD}+\frac{PE}{BE}+\frac{PF}{CF}=\frac{S_{APB}+S_{APC}+S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

ghi đề là đồng quy thôi bày đặt ceva làm gì:D

Đề nó ghi thế :D

25/25

\(x^2+y^2=17\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=17.\)

Ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}x+xy+y=8\\\left(x+y\right)^2-2xy=17\end{cases}}\)

Đặt x+y=t và xy=z ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}t+z=8\\t^2-2z=17\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2t+2z=16\left(1\right)\\t^2-2z=17\left(2\right)\end{cases}}}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2)

\(t^2+2t=33\Leftrightarrow t^2+2t-33=0\)

Giải PT bậc 2 tìm t từ đó tìm z. Từ t và z tính ra x và y

Bạn tự làm nốt nhé

\(\frac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\sqrt{\frac{4x-8}{9}}+\sqrt{9x-18}-5=0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\sqrt{\frac{4\left(x-2\right)}{9}}+\sqrt{9\left(x-2\right)}-5=0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\times\frac{2}{3}\sqrt{x-2}+3\sqrt{x-2}-5=0\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x-2}\left(\frac{1}{2}-4\times\frac{2}{3}+3\right)-5=0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{5}{6}\sqrt{x-2}-5=0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{5}{6}\sqrt{x-2}=5\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x-2}=6\)(1)

 \(ĐKXĐ\): \(x-2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(x\ge2\)

(1)\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{x-2}\right)^2=36\)

     \(\Rightarrow x-2=36\)

      \(\Rightarrow x=38\)(TM)

Vậy pt có nghiệm x=38

Sửa lại đề: A = \(\frac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\sqrt{\frac{4x-8}{9}}+\sqrt{9x-18}-5=0\)

\(c=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}\)

\(\Leftrightarrow c^2=20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}\)

\(\Leftrightarrow c^2=20+c\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c=5\\c=-4\left(l\right)\end{cases}}\)

\(A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-1}-\frac{3\sqrt{5}+5}{\sqrt{5}+3}+\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(A=\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}-\frac{3\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}{\sqrt{5}+3}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{2}}\)

\(A=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+3\right)}{\sqrt{5}+3}+\sqrt{2}\)

\(A=\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{2}\)

\(A=\sqrt{2}\)

\(A=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-1}-\frac{3\sqrt{5}+5}{\sqrt{5}+3}+\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{2}\)