Vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

   \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

   \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ 

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)cũng là số vô tỉ ( đpcm )

Áp dụng bđt ( a + b )² \(\ge\)4ab

16 = ( 2x + xy ) ² \(\ge\)4 . 2x . xy \(\Leftrightarrow\)8x²y\(\le\)16 \(\Leftrightarrow\)x²y \(\le\)2

A đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 1, y = 2

Đáp án

x = 1

y = 2 nha

Bài làm

2x + xy = 4

xy= 4 - 2x

A = x ( 4 - 2x ) 4x - 2x^2 = 2 - 2 ( x^2 - 2 + 1 ) = 2 - 2 ( x + 1 ) ^2

A = 2 khi x = 1, y = 2

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : 

Giả sử √77là một số hữu tỉ . Suy ra có thể biểu diễn dưới dạng √7=mn7=mn (m,n∈Z,n≠0m,n∈Z,n≠0) và mnmntối giản.

⇒7n2=m2⇒m2⋮7⇒m⋮7⇒7n2=m2⇒m2⋮7⇒m⋮7(1)

Do đó, đặt m = 7k (k∈Nk∈N)

=> m2=49k2⇒n2=7k2⇒n2⋮7⇒n⋮7m2=49k2⇒n2=7k2⇒n2⋮7⇒n⋮7(2)

Từ (1) và (2) Suy ra được m,n cùng chia hết cho 7

=> mnmn chưa là phân số tối giản (vô lí vì trái với giả thiết)

Điều vô lí chứng tỏ √77là số vô tỉ.

giả sử √7 là số hữu tỉ 

=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 

không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 

=> 7 = a²/b² 

<=> a² = b7² 

=> a² ⋮ 7 

7 nguyên tố 

=> a ⋮ 7 

=> a² ⋮ 49 

=> 7b² ⋮ 49

=> b² ⋮ 7

=> b ⋮ 7 

=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 

=> giả sử sai 

=> √7 là số vô tỉ

Hello Nhân 

Hi Trí 

\(\frac{2\left(9\sqrt{14}-30\right)}{2\left(3\sqrt{7}-5\sqrt{2}\right)}\)

\(\frac{3\sqrt{2}\left(3\sqrt{7}-5\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{7}-5\sqrt{2}\right)}\)

\(=3\sqrt{2}\)

\(\frac{6\sqrt{6}-27}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Đặt :

 \(A=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}.\)

Áp dụng bất đăng thức AM - GM :

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a^3}{a^2+\frac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\frac{a^3}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)

Chứng minh tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{b^3}{\frac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}\\\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{c^3}{\frac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\end{cases}}\)

Cộng theo vế :

\(A\ge\frac{2}{3}\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)

Tiếp tục áp dụng AM - GM ta có :

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Chứng minh tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\\\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\end{cases}}\)

Cộng theo vế :
 

\(A\ge\frac{2}{3}\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{3}\)

Nguồn : https://h7.net/hoi-dap/toan-9/chung-minh-rang-a-3-a-2-ab-b-2-b-3-b-2-bc-c-2-c-3-c-2-ac-a-2-a-b-c-3-faq413350.html