Số có dạng \(\overline{abcd}\left(a\ne0;a,b,c,d\in N\right)\).

a, a có 6 cách chọn.

d có 4 cách chọn.

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

\(\Rightarrow\) Lập được \(6.4.5.4=480\) số tự nhiên thỏa mãn.

b, a có 6 cách chọn.

d chỉ có 1 cách chọn (d=5).

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

c, Trường hợp: \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\a=1\end{matrix}\right.\)

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

\(\Rightarrow\) Lập được \(4.3=12\) số.

Tương tự với hai trường hợp \(\left\{{}\begin{matrix}d=4\\a=2\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}d=6\\a=3\end{matrix}\right.\) cũng sẽ lập được mỗi trường hợp là 12 số thỏa mãn.

Vậy lập được \(12.3=36\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.,k\in Z\)

Xét họ nghiệm \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi,k\in Z\). 

Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{5\pi}{12}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{11\pi}{12}< k\pi< \dfrac{9\pi}{4}\)

⇒ \(-\dfrac{11}{12}< k< \dfrac{9}{4}\). Mà k ∈ Z nên k ∈ {0 ; 1}

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp :

S₁ = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}\)

Xét họ nghiệm \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) với k ∈ Z. 

Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{-\pi}{4}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{\pi}{4}< k\pi< \dfrac{35\pi}{12}\)

nên \(-\dfrac{1}{4}< k< \dfrac{35}{12}\). Mà k ∈ Z nên k∈ {0 ; 1 ; 2}

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp 

S₂ = \(\left\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp

S = S₁ \(\cup\) S₂ = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

sin³x + cos³x = sin2x + 1 + sinx + cosx

⇔ (sinx + cosx)(sin²x + cos²x - sinx.cosx) = 2sinxcosx + sin²x + cos²x + sinx + cosx 

⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx . cosx) = (sinx + cosx)² + (sinx + cosx)

⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx - sinx - cosx - 1) = 0

⇔ (sinx + cosx)(sinx + cosx + sinx.cosx) = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(1\right)\\sinx+cosx+sinx.cosx=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

⇔ \(x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\)

⇔ \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

(2) ⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=0\)

⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)

⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}.\left[1-2sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=0\)

⇔ \(\dfrac{1}{4}sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{10}-2\sqrt{2}\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{10}-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{10}-2\sqrt{2}\)

câu a là = căn2/2 nha mng

với cả cả a lẫn b đều là mũ 3 ạ

y = \(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{sin^2x}{sinx.cosx-cos^2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{tan^2x}{tanx-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{4tan^2x+tanx-1}{4tanx-4}\). Đặt t =  tanx. Do x ∈ \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên t ∈ (1 ; +\(\infty\))\

Ta đươc hàm số f(t) = \(\dfrac{4t^2+t-1}{4t-4}\)

⇒ ymin = \(\dfrac{17}{4}\) khi t = 2. hay x = arctan(2) + kπ