Áp dụng BĐT Cau-chy cho 2 số không âm 9 và 2x+3 ta có:

\(6\sqrt{2x+3}=2\sqrt{9\left(2x+3\right)}\le2x+12\)

Mà \(x^2-4x+21=6\sqrt{2x+3}\Rightarrow x^2-4x+21\le2x+12\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le0\)\(\Leftrightarrow x=3\)

a.\(5+2\sqrt{6}\)\(=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}\)\(=\frac{2^2+2.2.\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^2}{2}\)\(=\frac{\left(2+\sqrt{6}\right)^2}{2}\)

a, \(5+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{2.3}=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2.3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

b, \(8+2\sqrt{15}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2\)

c, \(7-2\sqrt{10}=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2\)

\(x^4+y^4=3y^2+1\Leftrightarrow-y^4+3y^2+1=x^4\ge0\)

\(\Rightarrow-y^4+3y^2+1\ge0\Rightarrow\frac{3-\sqrt{13}}{2}\le y^2\le\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)

Mà \(y\in Z\Rightarrow y^2\)là số chính phương \(\Rightarrow y^2=0;1\)

*\(y^2=0\Rightarrow x^4=1\Rightarrow x=-1;1\)

*\(y^2=1\Rightarrow x^4+1=3+1\Rightarrow x^4=3\Rightarrow x\notin Z\)

Vậy phương trình có nghiệm nguyên \(\left(-1;0\right),\left(1;0\right)\)

(O) tiếp xúc với BC, CA, AB tại H, I, K \Rightarrow OK vuông với KB ở K.

Mà HD vuông với KD ở D.
 

∠KBD=∠OKD∠KBD=∠OKD Hay ∠ABD=∠OKI∠ABD=∠OKI

Tương tự có ∠ACD=∠OIK∠ACD=∠OIK

(O) có ΔΔOIK cân ở O \Rightarrow ∠OKI=∠OIK

đó bạn nhé nhớ k nhe

bạn viết lại giùm mình đc ko, chứ mình ko thấy gì hết.

Xét: \(x^2\ge0\Rightarrow x^4+2x^2+1\ge x^4+x^2+1=y^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\ge y^2=x^4+x^2+1>x^4=\left(x^2\right)^2\)

Vậy số chính phương \(y^2\)bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp là \(\left(x^2\right)^2\)và\(\left(x^2+1\right)^2\)

Có xảy ra dấu "=" tại \(\left(x^2+1\right)^2\)nên trường hợp duy nhất cho y chính là \(y^2=\left(x^2+1\right)^2\)

Khi đó \(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\Leftrightarrow x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \(\left(0;1\right),\left(0;-1\right)\)