a) \(\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\left(x^4+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{9}\right)\) (sửa \(\dfrac{x}{2}\rightarrow x^2\))

\(=\left(x^2\right)^3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(=x^6-\dfrac{1}{27}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{3}x+2y\right)\left(\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}xy+4y^2\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}x\right)^3+\left(2y\right)^3\)

\(=\dfrac{1}{27}x^3+8y^3\)

Lưu ý : Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \(a^3\pm b^3=...\)

Thank you

5:

Xét tứ giác ABCD có góc ABC+góc ADC=180 độ

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

ABCD là tứ giác nội tiếp

=>góc CBD=góc CAD  và góc CDB=góc CAB

mà góc CAD=góc CAB

nên góc CBD=góc CDB

=>ΔCBD cân tại C

=>CB=CD

6:

a: ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên AD*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AC=AH^2

=>AD*AB=AE*AC

=>AD/AC=AE/AB

Xét ΔADE và ΔACB có

AD/AC=AE/AB

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔACB

=>góc ADE=góc ACB

b: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên MA=MB=MC

góc AED+góc MAC

=góc ACB+góc AHD

=góc ACB+góc B=90 độ

=>AM vuông góc DE

Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)

\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)

\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\)      ( do \(a+7b+2024c=c^3\))

 Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

 Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)

 Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)

 Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.

khó thế

đừng nói là lại trả lời đc rồi nha

a.

Xét tg vuông ABC có

\(AB=\sqrt{CA^2+CB^2}\) (pitago)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{4^2+3^2}=5cm\)

\(CM=\dfrac{1}{2}AB\) ( Trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow CM=\dfrac{1}{2}.5=2,5cm\)

b.

Xét tứ giác ACMK có

IA=IM (gt); IC=IK (gt) => ACMK là hbh (Tứ giavs có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

c.

\(AC\perp BC\Rightarrow EC\perp BC\)

\(MD\perp BC\) 

=> EC//MD (1)

\(BC\perp AC\Rightarrow DC\perp AC\)

\(ME\perp AC\)

=> DC//ME (2)

Từ (1) và (2) => ADME là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối //)

Mà \(\widehat{C}=90^o\)

=> CDME là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

d.

ACMK là hbh (cmt) => AK=MC (cạnh đối hbh) (3)

Xét hình chữ nhật CDME

MC=DE (đường chéo HCN) (4)

Từ (3) và (4) => DE=AK

e.

DE=MC (cmt)

DE ngắn nhất khi MC ngắn nhất

MC ngắn nhất khi \(MC\perp AB\) (Khoảng cách nhỏ nhất từ 1 điểm đến 1 đường thẳng  chính là khoảng cách từ điểm đã cho đến điểm giao của đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước đi qua điểm đã cho )

=> DE ngắn nhất khi M là giao của đường thẳng vuông góc với AB đi qua C

a) Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (gt)

\(AD\) là đường phân giác (gt)

\(\Rightarrow AD\) là đường trung trực của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow D\) là trung điểm của \(BC\)

Lại có \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(D\)

\(\Rightarrow D\) là trung điểm của \(AE\)

Tứ giác \(ABEC\) có:

\(D\) là trung điểm của \(BC\) (cmt)

\(D\) là trung điểm của \(AE\) (cmt)

\(\Rightarrow ABEC\) là hình bình hành

Mà \(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\Rightarrow ABEC\) là hình thoi

b) Do \(ABEC\) là hình thoi

\(\Rightarrow AC=BE\)

c) Do \(ABEC\) là hình thoi

\(\Rightarrow AB\) // \(CE\)

d) Do \(ABEC\) là hình thoi

\(\Rightarrow EA\) là tia phân giác của \(\widehat{BEC}\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{AEC}\)

a: ΔABC cân tại A có AD là phân giác

nên D là trung điểm của BC

Xét tứ giác ABEC có

D là trung điểm chung của AE và BC

=>ABEC là hình bình hành

mà AB=AC
nên ABEC là hình thoi

b:ABEC là hình thoi

=>AC=BE

c: ABEC là hình thoi

=>AB//CE

d: ABEC là hình thoi

=>EA là phân giác của góc BEC

=>góc AEB=góc AEC

a: Xét ΔBAC có BA=BC và góc B=60 độ

nên ΔBAC đều

b: ΔBAC đều

mà AF là đường cao

nên AF là phân giác của góc BAC

=>góc FAC=góc FAB=60/2=30 độ

Xét ΔDAC có DA=DC và góc D=60 độ

nên ΔDAC đều

=>AE là phân giác của góc CAD

=>góc CAE=60/2=30 độ

góc CAE=góc CAF

=>AC là phân giác của góc FAE

c: Xét ΔAFC vuông tại F và ΔAEC vuông tại E có

góc FAC=góc EAC

AC chung

góc FCA=góc ECA

=>ΔAFC=ΔAEC

=>AF=AE

Xét ΔAFE có

AF=AE

góc FAE=60 độ

=>ΔAFE đều