\(P=\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\dfrac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}-\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{4}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}{\left(\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}\right)\left(\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}\right)}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}-\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}+\dfrac{\sqrt{4}+\sqrt{5}}{4-5}-...+\dfrac{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}{2n-2n-1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{5}-...+\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}{-1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2n+1}}{-1}\)

\(P=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2n+1}\right)\)

Mà: \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ nên: \(-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2n+1}\right)\) là số vô tỉ với mọi n

\(\Rightarrow\) P là số vô tỉ không phải là số hữu tỉ 

a: ΔAHB vuông tại H

=>\(AB^2=BH^2+AH^2\)

=>\(AH^2+5,4^2=9^2\)

=>\(AH^2=9^2-5,4^2=51,84\)

=>AH=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BC\cdot5,4=9^2=81\)

=>BC=15(cm)

BH+CH=BC

=>CH+5,4=15

=>CH=15-5,4=9,6(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=9,6^2+7,2^2=144\)

=>AC=12(cm)

b:

Sửa đề: \(AH^3=BC\cdot BE\cdot CF\)

Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\) và \(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=HB\cdot HC\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2;AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)

\(BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot BH^2\cdot CH^2\)

\(=\dfrac{BC}{AH\cdot BC}\cdot AH^4\)

\(=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3\)

c: \(AE\cdot AB=AH^2\)

=>\(AE\cdot9=7,2^2\)

=>\(AE=\dfrac{7.2^2}{9}=5,76\left(cm\right)\)

\(AE\cdot AB=AH^2\)

\(AF\cdot AC=AH^2\)

Do đó: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AE}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{5.76}{12}\right)^2=\dfrac{144}{625}\)

=>\(S_{AEF}=\dfrac{144}{625}\cdot S_{ACB}=\dfrac{144}{625}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot9=12,4416\left(cm^2\right)\)

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\left(Đk:x\ge0;x\ne1\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

c) Khi \(x=\dfrac{1}{9}\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{1}{3}\)

\(P=\dfrac{\dfrac{1}{3}-1}{\dfrac{1}{3}+2}=-\dfrac{2}{7}\)

d) \(P< -\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}< -\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{3}< 0\)

\(\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}+2}{3\left(\sqrt{x}+2\right)}< 0\)

\(\dfrac{4\sqrt{x}-1}{3\left(\sqrt{x}+2\right)}< 0\)

Vì \(\sqrt{x}+2>0\Rightarrow4\sqrt{x}-1< 0\Rightarrow\sqrt{x}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow0\le x< \dfrac{1}{16}\)

e) \(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\)

Vì \(\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\ge1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\)

\(MinP=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=0\)

Tọa độ giao điểm của (d) và (d') là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x+1=x+2\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x=1\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1:\dfrac{1}{2}=2\\y=2+2=4\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 và y=4 vào (d''), ta được:

(k+3)*2-2=4

=>2(k+3)=6

=>k+3=3

=>k=0

\(a,x=36\Leftrightarrow A=\dfrac{2+\sqrt{36}}{\sqrt{36}}=\dfrac{2+6}{6}=\dfrac{4}{3}\)

\(b,B=\dfrac{x}{x-4}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\left(dkxd:x>0,x\ne4\right)\\ =\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\\ =\dfrac{x+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{x-4}\\ =\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-4}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(c,P=\dfrac{A}{B}=\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x-4}{x}\)

Để \(Px\le\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x}-1\right)\) thì \(\dfrac{x-4}{x}.x\le\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x-4-\dfrac{3}{2}\sqrt{x}+\dfrac{3}{2}\le0\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-\dfrac{5}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{25}{4}\)

Kết hợp với điều kiện \(x>0,x\ne4,x\in Z\), ta kết luận \(S=\left\{1;2;3;5;6\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}-6=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)+4\sqrt{x-1}+4}=9\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+2\right)^2}=9\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}+2=9\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}=7\\ \Leftrightarrow x-1=49\\ \Leftrightarrow x=50\left(tm\right)\)

Vậy x = 50

Ta có điều kiện phương trình: 2≤x≤4
Xét:\(x^2-5x-1\) Phải lớn hơn 0
nên với 2≤x≤4 thì ta có vùng giá trị của \(x^2-5x-1\)
\(2^2-5.2-1\le x^2-5x-1\le4^2-5.4-1\\ \Leftrightarrow-7\le x^2-5-1\le-5\)
Vậy Phương trình vô nghiệm