Đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)với \(a,b,c,d\inℤ^+;b,d\ne0;\left(a,b\right)=1;\left(c,d\right)=1\).

Ta có: \(x+\frac{1}{y}=\frac{a}{b}+\frac{d}{c}=\frac{ac+bd}{bc}\inℤ\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac+bd⋮b\\ac+bd⋮c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c⋮b\\b⋮c\end{cases}}\Leftrightarrow b=c\)(vì \(\left(a,b\right)=1,\left(c,d\right)=1\)) 

Tương tự ta cũng có \(a=d\).

Khi đó \(x=\frac{a}{b}=\frac{d}{c}=\frac{1}{y}\). 

Bài toán ban đầu trở thành: tìm số hữu tỉ \(x>0\)để \(2x\inℤ,\frac{2}{x}\inℤ\).

\(2x\inℤ^+\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)với \(a\inℤ^+\)​

\(\frac{2}{x}=\frac{2}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{a}\inℤ^+\)mà \(a\inℤ^+\)nên \(a\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\).

Từ đây bạn tìm ra được giá trị của \(x\)và \(y\).

ai giup mik nha

Xét với \(k=100\)ta có tập \(\left\{101,102,...,200\right\}\). Dễ thấy không có hai số nào mà số này là bội của số kia. 

Xét với \(k=101\): 

Ta lấy ngẫu nhiên \(101\)số tự nhiên từ \(200\)số đã cho \(\left\{a_1,a_2,...,a_{101}\right\}\).

Ta biểu diễn \(101\)số này dưới dạng: 

\(a_1=2^{x_1}m_1,a_2=2^{x_2}m_2,...,a_{101}=2^{x_{101}}m_{101}\)(với \(m_1,...,m_{101}\)là các số lẻ, \(x_1,...,x_{101}\)là các số tự nhiên) 

Vì từ \(1\)đến \(200\)có \(100\)số tự nhiên lẻ nên trong \(101\)số đã lấy chắc chắn có ít nhất hai số khi biểu diễn dưới dạng trên có cùng giá trị \(m_i\). Khi đó hai số đó là bội của nhau. 

Vậy \(k=101\)là giá trị nhỏ nhất cần tìm. 

a)Ta có: BC²=5²=25 (1)

AB²+AC²=3²+4²=25 (2)

Từ (1);(2)=>BC²=AB²+AC²(=25)

=>tam giác ABC vuông tại A (PyTaGo đảo)

b)Xét tam giác ABD vuông ở A và tam giác EBD vuông ở E(vì DE _|_ BC) có:

BD:cạnh chung

^ABD=^EBD (vì BD là phân giác của ^ABE)

=>tam giác ABD=tam giác EBD(ch-gn)

=>DA=DE (cặp cạnh t.ứ)

b)Xét tam giác ADF có: DF>DA (cạnh huyền>cạnh góc vuông)

Mà DA=DE(cmt)

=>DF>DE

Xét tam giác ADF vuông ở A và tam giác EDC vuông ở E có:

DA=DE(cmt)

^ADF=^EDC (2 góc đối đỉnh)

=>tam giác ADF=tam giác EDC (cgv-gnk)

=>DF=DC (cặp cạnh t.ứ)

DF ko bằng DE bn nhé!

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(b+c\right)\left(c+d\right)\)

<=> ad + a² + bd + ab = bc + bd + c² + cd

<=> ad + a² + bd + ab - bc - bd - c² - cd = 0

<=> ad + a² + ab - bc - c² - cd = 0

<=> ( ad - cd ) + ( a² - c² ) + ( ab - bc ) = 0

<=> d( a - c ) + ( a - c )( a + c ) + b( a - c ) = 0

<=> ( a - c )( a + b + c + d ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a-c=0\\a+b+c+d=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a+b+c+d=0\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)

TH1: \(a+b+c+d=0\Rightarrowđpcm\)

TH2: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=1\)

\(\Rightarrow a+b=b+c\)

\(\Rightarrow a=c\left(đpcm\right)\)

TH1: "Hòa đạt giải đồng" là đúng. 

Tức là "Hoàng không đạt giải đồng" là sai nên Hoàng đạt giải đồng, khi đó Hòa và Hoàng đều đạt giải đồng, mâu thuẫn. 

TH2: "Hoàng không đạt giải đồng" là đúng.

Khi đó Hoàng đạt giải vàng hoặc bạc, "Huy đạt giải đồng" là sai nên Huy đạt giải vàng hoặc bạc, khi đó Huy đạt giải đồng. 

Khi đó câu "Huy không đạt giải bạc" là đúng, mâu thuẫn. 

TH3: "Huy không đạt giải bạc" là đúng.

Huy đạt giải vàng hoặc đồng. "Hoàng không đạt giải đồng" là sai nên Hoàng đạt giải đồng, suy ra Huy đạt giải vàng. 

Khi đó Hòa đạt giải bạc. 

Chọn B.

Với \(n\ge3\)thì tích của \(n\)số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3\)

mà \(4^n\equiv1\left(mod3\right),14\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow4^n-14\equiv2\left(mod3\right)\)do đó không thỏa mãn. 

Thử trực tiếp với \(n=1\)và \(n=2\)thu được \(n=2\)thỏa mãn. 

\(4^2-14=1.2\).

Vậy \(n=2\).

không biét

Gọi số trận đấu mà anh Nam chơi ngày thứ nhất, thứ 2, ..., ngày thứ 20 lần lược là: a₁; a₂; ...; a _n.

Xét 20 tổng :

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

...................

S _n = a₁ + a₂ + ... + a​ _n

Ta có: S₁ < S₂ < .... < S _n < 36 (vì trong 20 ngày anh Nam không chơi quá 12.3 = 36 trận)

Ta biết rằng 1 số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 20 thì có 19 số dư khác 0 là: 1, 2,...,19.

Giờ quay lại bài toán ta thấy 

Nếu trong 20 tổng này có 1 tổng chia hết 20 thì bài toán đã được chứng minh (vì các tổng đó lớn hơn 0 nhỏ hơn 36 nên tổng chỉ có thể là 20). 

Còn nếu trong 20 tổng này không có tổng nào chia hết cho 20 thì sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 20.

Giả sử hai tổng đó là S _m, S _n (m > n) thì ta có S _m - S _n = (a₁ + a₂ + ... + a _m) - (a₁ + a₂ + ... + a _n) = a _n+1 + a _n+2 + ...+ a_{​ m} chia hết cho 20. Hay S _m - S​ _n = 20.

Vậy tồn tại một số ngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 trận.

20 đấy Vương ạ

\(\sqrt{30}\)

Bằng 5,490838311