Lớp 9 không biết có học tới sin cos âm chưa nếu chưa thì lấy phần dương nha 

\(1+tan^2a=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(1+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(1+\frac{4}{9}=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(\frac{13}{9}=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(cos^2a=\frac{9}{13}\)   

\(cosa=\pm\sqrt{\frac{9}{13}}=\pm\frac{3\sqrt{13}}{13}\)    

\(sin^2a+cos^2a=1\)   

\(sin^2a+\frac{9}{13}=1\)    

\(sin^2a=\frac{4}{13}\)    

\(sina=\pm\sqrt{\frac{4}{13}}=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}\)   

tan dương nên sẽ có 2 TH 

TH1 sin và cos cùng dương 

\(\frac{sin^3a+3cos^3a}{27sin^3a-25cos^3a}\)   

\(=\frac{\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^3+3\cdot\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)^3}{27\cdot\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^3-25\cdot\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)^3}\)    

\(=-\frac{89}{459}\)   

TH2 sin và cos cùng âm 

\(\frac{sin^3a+3cos^3a}{27sin^3a-25cos^3a}\)   

\(=\frac{\left(\frac{-2\sqrt{13}}{13}\right)^3+\left(\frac{-3\sqrt{13}}{13}\right)^3}{27\cdot\left(\frac{-2\sqrt{13}}{13}\right)^3-25\cdot\left(\frac{-3\sqrt{13}}{13}\right)^3}\)

\(=-\frac{89}{459}\)

VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)

áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)

Ta có  \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)

Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)

dấu bằng xảy ra <> a=b=c

Tam giác ABC có ba cạnh a,b,c và có chu vi bằng 1

=> \(a+b+c=1\)

=> \(\hept{\begin{cases}b+c=1-a\\a+c=1-b\\a+b=1-c\end{cases}}\)

Do đó ta viết lại đề bài thành \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Thật vậy, ta có :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)+\left(\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}-3\)( bất đẳng thức Cauchy )

\(=\frac{1}{2}\cdot9-3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

=> Tam giác ABC đều ( đpcm )

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\a+c=y\\a+b=z\end{cases}}\)Với (x,y,z>0) và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Ta có \(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

           \(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu ''=''  xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Với x = y = z thì \(a=b=c\)

=> \(\Delta ABC\) đều