Tìm nghiệm nguyên cuả phương trình : \(\sqrt{x-2008}-2\sqrt{y-2009}+\sqrt{z-2010}+3012=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐẶT \(\sqrt{X}=a,\sqrt{x-1}=b\)
=> PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:
\(a+b+ab=1\)
<=>\(a+1+b\left(a+1\right)=2\)
<=> (a+1)(b+1) = 2
<=> a = 1
<=> x = 1
y =2n+1
x+9n=998
x =998-9n
y=2n+1
a) nghiệm là \(\left\{{}\begin{matrix}x=998-9n\\y=2n+1\end{matrix}\right.n\in Z\)
b)P=xy =(998-9n)(2n+1)
P= \(\dfrac{4020025-\left(36n-1987\right)^2}{72}\le\dfrac{4020025}{72}\)
\(n\in Z\Rightarrow max\left(P\right)=\left[{}\begin{matrix}P\left(55\right)\\P\left(56\right)\end{matrix}\right.\)
\(P\left(55\right)=4020025-49=55833\)
\(\dfrac{4020025-841}{72}=55822\)
vậy Max(P) =55833 => dpcm
gọi số bài điểm 8;9;10 là x;y;z , áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có:
x+y+z =100
x/8 =y/9=z/10
k = (x+y+z)/(8+9+10) = 100/27= 2,7
x= 8.2,7 = 21,6 bài ( đề cho sai...)
tớ nghĩ đề không sai, hậu duệ anhxtanh học nhiều lại đâm ra rối loạn tạm thời . t bấm máy thử được cái vd thỏa mãn: 3 bài 8đ, 4 bài 9đ và 4 bài 10đ
Gọi số bài 8,9,10 điểm lần lượt là a,b,c (a,b,c thuộc Z+)
Theo đề, ta có hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}8a+9b+10c=100\\a+b+c=11\end{matrix}\right.\)
(vấn đề là giải cái thứ này ra, nhưng lực lượng nơ-ron bên này còn non trẻ quá, anh chị nào giải giùm để học hỏi kinh nghiệm với, xin cảm ơn ^^!)
Lợi dụng Cauchy-Schwarz' inequality ta có:
\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}\)
\(=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{bc+ca}{a+b}+\dfrac{ab+ca}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Ta có P=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)
=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+ac+ab+a^2}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+ab+bc+b^2}}\)
=\(\dfrac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{c\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)}}\)
=\(\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}}\)
áp dụng bđt Cói ta có:
\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{2+c}{2}=1+\dfrac{c}{2}\)
\(\sqrt{\left(b+á\right)\left(c+a\right)}\)
a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
A = \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)
b) Khi \(x=\dfrac{4}{9}\) (thảo mãn ĐKXĐ) thì giá trị của A là:
\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=-\dfrac{3}{5}\)
Vậy .....
c)
+) Khi \(A=-\dfrac{1}{2}\) thì ta có:
\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=1\) (Loại do không thỏa mãn ĐKXĐ)
+) Khi \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì ta có:
\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x=9\) (thỏa mãn)
Vậy để A = \(-\dfrac{1}{4}\) thì x = 9
a/ ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)
\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)
= \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
= \(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
= \(\dfrac{2-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
= \(\dfrac{-2\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
= \(\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}\)
b/
Thay \(x=\dfrac{4}{9}\) vào A ta được:
\(A=\dfrac{-1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{-3}{5}\)
Vậy khi \(x=\dfrac{4}{9}\) thì \(A=\dfrac{-3}{5}\)
c/ Với \(x\ge0,x\ne1\)
* Để \(A=\dfrac{-1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow-2=-\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\) ( ktmđk)-Loại
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn \(A=\dfrac{-1}{2}\)
* Để \(A=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{4}\)
\(\Leftrightarrow-4=-\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\) (tmđk)
Vậy để \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì \(x=9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\right]^4}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\\\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}+\dfrac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\) (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{abc+1+1}{3}=\dfrac{abc+2}{3}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\dfrac{3}{abc+2}\)
\(\Rightarrow3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) (3)
Từ (1) và (2) và (3)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) ( đpcm )
a) Ta có: \(\widehat{EAD}=90^o\) theo giả thiết (1)
\(\widehat{ADH}=90^o\) : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (2)
\(\widehat{AEH}=90^o\) : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra HDAE là hình chữ nhật
b) Ta phải chứng minh \(\widehat{ECB}+\widehat{EDB}=180^o\)
Lại có: \(\widehat{EDB}=\widehat{EDH}+\widehat{HDB}=90^o+\widehat{EDH}\)
=> Phải chứng minh \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\)
Thật vậy, \(\widehat{ECB}+\widehat{EAH}=90^o\)
Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\) vì HDAE là hình chữ nhật theo chứng minh trên
=> \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\)
=> BDEC là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
c) Gọi giao điểm của OA và DE là K
Ta có: \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\) (*)
Mặt khác: \(\widehat{AED}=\widehat{EDH}\) vì HEAD là hình chữ nhật (**)
Do \(\Delta OCA\) cân tại O nên \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (***)
Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat{EKA}=90^o\)
=> \(OA\perp DE\) (đpcm)
d) Chưa nghĩ ra :(