xét n tích a1a2+a2a3+...+ana1, mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 mà tổng của chúng =0 nên số tích có giá trị 1 bằng số tích có giá trị -1 và đều = n/2 => n chia hết cho 2

bây giờ ta chứng minh rằng số tích có giá trị bằng -1 cũng là số chẵn 

thật vậy xét

A=(a1.a2)(a2.a3)...(an-1.an) (an.a-1)

ta thấy A =a1^2.a2^2....an^2 nên A>0 , chứng tỏ số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn tức là n/2 là số chẵn , do đó n chia hết cho 4

a₁a₂+a₂a₃+...+a_na₁ = 0

Mà a_1, a₂, a₃,...,a_n mỗi số nhận giá trị -1 hoặc 1 => a_m.a_n = 1 hoặc -1 (a_m,a_n là bất kì số nào trong dãy trên) và tổng trên có số giá trị nhận -1 và số giá trị nhận 1 bằng nhau.

Số số hạng trong tổng trên là số chẵn.

a₁a₂+a₂a₃+...+a_na₁ có 4 số hạng trở lên.

=> n chia hết cho 4 (đpcm)

Gọi số tự nhiên đó là n với n \(\ne\) 0 .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tố, ta xét 4 trường hợp sau:

TH1: n chứa 1 thừa số nguyên tố: n = 2^x. Ta có 2⁵ < 60 < 2⁶ \(\Rightarrow\) n = 2⁵ có 5 + 1 = 6 ước số.

TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố : n = 2^x . 3^y. Ta có 2⁴ . 3 < 60 < 2⁴ . 3² 

\(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 có (4 + 1) . (1 + 1) = 10 ước số.

TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố: n = 2^x . 3^y . 5^z. Ta có 2 . 3 . 5 < 60 < 2² . 3 . 5

\(\Rightarrow\) n = 2 . 3 . 5 có (1 + 1) . (1+ 1) . (1 + 1) = 8 ước số.

TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.

    Trong các trường hợp trên, chọn n nhiều ước nhất \(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 = 48

                       Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số tự nhiên đó là n  với  .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tô, ta xét 4 trường hợp sau:
TH1: n chứa một thừa số nguyên tố:   có 6 ước số.
TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố :    
  có 10 ước.
TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố:  
  có 8 ước số.
TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.
Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(2^9)^1945=512^1945<1000^1945=10^1945.3 nen (2^9)^1945 có số chữ nhỏ hơn 1945.3=5835 đỗ à tổng là các chữ số của(2^9)^1945 nên a<5835.9=52515(chữ số thứ nhất là 9)B là tổng các chữ số của a (nhiều nhất 5 chữ số do < 52515)do do b<5.9=45

Do một số trừ đi tổng các chữ số của nó thì chia hết cho 9 (đệ đag chug mìh ; giống dấu hiệu chia hết cho (2^9)^1945 - à:9 mà(2^9)^1945 chia 9 dư 8 nên a chia 9 dư 8.a-bchia hết cho 9 nên b chia 9 dư 8.Nên B có tổng các chữ số 8

+) Tính quãng đường chỉ đi quanh các luống rau:

Chu vi mỗi luống rau là: (16 + 2,5) x 2 = 37 (m)

Vậy tổng quãng đường đi quanh các luống rau là: 37 x 30 = 1110 (m)

+) Tính quãng đường đi từ giếng vào mỗi luống rau:

Coi luống đầu tiên ngay mép vườn:

- Quãng đường phải đi tưới luống 1 là: 14 x 2 = 28

- Quãng đường đi và về khi tưới luống 2 (cách mép vườn 1 luống) là: 14 x 2 + 2,5 x 2 = 28 + 5.1

- Quãng đường đi và về khi tưới luống 3 (cách mép vườn 2 luống) là: 14 x 2 + 2,5 x 2 x 2 = 28 + 5.2

............

- Quãng đường đi và về khi tưới luống 30 (cách mép vường 29 luống)  là: 14 x 2 + 2,5 x 29 x 2 = 28 + 5 . 29

Vậy Tổng quãng đường đi và về là:

28 x 30 + 5.(1+2+3+...+29) = 840 + 2175 = 3015 m

Vậy bạn đó phải đi tổng quãng đường là: 1110 + 3015 = 4125 m

Nếu tính lần tưới đầu tiên (luống 1) gần giếng nhất (bắt đầu và kết thúc tại giếng. 
-Đoạn đường phải đi để tưới luống 1 là: (14+16)*2 hay 30*2 
-Đoạn đường phải đi để tưới luống 2 là: 30*2 + 2.5*2 
2.5*2 là chiều rộng của luống cả đi và về, là chiều dài tăng thêm so với luống 1.
-Chiều dài phải đi thêm của luống 3 so với luống 1 là: (2.5+2.5)*2 hay 2.5*2*2 
-Chiều dài phải đi thêm của luống 4 so với luống 1 là: 
2.5*3*2 
-Tương tự chiều dài phải đi thêm của luống thứ 30 so với luống 1 là: 2.5*29*2. 
-Vậy chiều dài tăng thêm sau mỗi luống so với luống 1: 
Nếu l1=0; l2=2.5*2; l3=2.5*2*2...l30=2.5*29*2 
-Tổng chiều dài phải đi về qua các luống từ 1 đến 30 là: 
S=0*2+2.5*2+2.5*2*2+2.5*3*2+...+2.5*29*2 
=2(0+2.5+2.5*2+2.5*3+...+2.5*29) 
Tổng các số trong dấu ngoặc là một cấp số cộng với công sai bằng: 2.5. 
vậy: S=2*[30(l1+l30)/2]=30(0+29*2.5)=30*29*2.... 2175(m). 
Chiều dài phải đi tưới hết 30 luống không kể đi qua, lại các đầu luống là: 30*30*2=1800(m) 
Vậy để tưới hết tất cả 30 luống rau bạn phải đi một đoạn đường dài tối thiểu là: 2175+1800=3975(m).

ta thấy ngày thứ 2 nở gấp đôi ngày thứ nhất

ngày thứ 3 nở gấp đôi ngày thứ2

.......

=> ngày thứ 16 nở gấp đôi ngày 15

=> ngày 16 nở đầy hồ sen

vậy sau 1 ngày nữa thì nở đầy hồ sen

 ngày thứ 1 nở 1 bông sen, ngày thứ 2 nở 2 bông sen, ngày thứ 3 nở 4 hoa sen. tức ngày tiếp sau sẽ nở gấp đôi ngày đầu, hay q= 2. 
ngày thứ 15 nở nửa hồ sen, theo suy đoán logic( quy tắc cấp số nhân) thì ngày thứ 16 sẽ gấp đôi ngày 15, tức nở đầy ao, vậy sau 1 ngày sen sẽ nở đầy ao. 

a)Người đầu thắng. 
..Lượt đầu,người đầu (A) thay 2 dấu (-) 
..Người sau (B) có thể thay 1 hoặc 2 dấu (-) 
..Lượt 2,A sẽ thay 2 hoặc 1 dấu (-) tùy theo lượt trước đó B thay 1 hay 2 dấu (-) (đảm bảo tổng số dấu (-) bị thay của A lượt này và B lượt ngay trước đó là 3).Đến đây chỉ còn 3 dấu (-). 
..Lượt 2,B có thể thay 1 hoặc 2 dấu (-). 
..Đến đây chỉ còn 2 hoặc 1 dấu (-) và đến lượt A nên A thắng. 
b)A thắng nếu lượt đầu A thay 1 dấu (-).Áp dụng chiến thuật trên,sau khi A đi lượt 2 còn 3 dấu (-).Và cũng như trên, đến trước khi A đi lượt 3,chỉ còn 1 hoặc 2 dấu (-) nên A sẽ thắng. 
c)B thắng. 
...B sẽ áp dụng chiến thuật tương tự (trong mỗi lượt,tổng số dấu (-) bị thay đúng bằng 3).Khi B đi xong lượt 2 sẽ còn 3 dấu (-).Lượt 3,B đi sau nên sẽ thắng.

Bài giải:

a)Người đầu thắng. 
..Lượt đầu,người đầu (A) thay 2 dấu (-) 
..Người sau (B) có thể thay 1 hoặc 2 dấu (-) 
..Lượt 2,A sẽ thay 2 hoặc 1 dấu (-) tùy theo lượt trước đó B thay 1 hay 2 dấu (-) (đảm bảo tổng số dấu (-) bị thay của A lượt này và B lượt ngay trước đó là 3).Đến đây chỉ còn 3 dấu (-). 
..Lượt 2,B có thể thay 1 hoặc 2 dấu (-). 
..Đến đây chỉ còn 2 hoặc 1 dấu (-) và đến lượt A nên A thắng. 
b)A thắng nếu lượt đầu A thay 1 dấu (-).Áp dụng chiến thuật trên,sau khi A đi lượt 2 còn 3 dấu (-).Và cũng như trên, đến trước khi A đi lượt 3,chỉ còn 1 hoặc 2 dấu (-) nên A sẽ thắng. 
c)B thắng. 
...B sẽ áp dụng chiến thuật tương tự (trong mỗi lượt,tổng số dấu (-) bị thay đúng bằng 3).Khi B đi xong lượt 2 sẽ còn 3 dấu (-).Lượt 3,B đi sau nên sẽ thắng.

Làm nốt câu này thôi đó :

Gọi C là số tạo bởi k chữ số tận cùng bị xóa của A.

Ta có A = 10^k . B + C. Do đó 10^k . B + C = 130B

Như vậy 10^k . B  \(\le\) 130B. 

Mà chỉ có 10¹ . B = 10B < 130B hoặc 10² . B = 100B < 130B

=> k = 1 hoặc k = 2

-Với k = 1 thì 10B + C = 130B => C = 120B và C là số có 1 chữ số, loại.

-Với k = 2 thì 100B + C = 130B  => C = 30B và C có 2 chữ số. Vậy C \(\in\) {30 ; 60 ; 90}

        => A \(\in\) {130 ; 260 ; 390}

A = 130B

+) Nếu B = 1 => A = 130 : Thoả mãn (Xoá đi 2 chữ số tận cùng của A được B)

+) Nếu B = 2 => A = 260 : thoả mãn (Xoá đi 2 chữ số tận cùng của A được B)

+) Nếu B = 3 => A = 390 thoả mãn

+) Nếu B = 4 => A = 520 : Không thoả mãn

B = 4 trở đi,  130.B là phép nhân có nhớ => B > 4 không thoả mãn yêu cầu

Vậy A = 130 hoặc 260 hoặc 390

Giả sử số hộp sữa của loại I là 200 hộp

Loại II 225 hộp 

Lượng sữa loại I là : 108ml/hộp

Lượng sữa loại II là :100ml/hộp

Vậy lượng sữa loại I có là:

225 . 100 = 22500ml

                    Vậy lượng sữa loại II sẽ nhìu hơn

Giả sử số hộp sữa của loại I là 200 hộp

Loại II 225 hộp 

Lượng sữa loại I là : 108ml/hộp

Lượng sữa loại II là :100ml/hộp

Vậy lượng sữa loại I có là:

225 . 100 = 22500ml

                    Vậy lượng sữa loại II sẽ nhiều hơn

=(1+1999)+(2+1998)+(3+1997)+...+(999+1001)+1000

=2000.999+1000

=1998000+1000

=1999000

\(\frac{a}{b}=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}\)
suy ra ƯCLN = a/4. 
Mà BCNN = ab / ƯCLN 
suy ra 300 = ab / (a/4) 
suy ra b = 75 
suy ra a = 60 

vậy phân số cần tìm là 60/75

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{36}{45}\) = . \(\frac{a}{36}\) =\(\frac{b}{45}\) ( ta hoán đổi hai trung tỉ )       

\(\frac{a}{36}\)= \(\frac{b}{45}\)                     

a/ 36 = n => a = 36n      

b/ 45 =n => b = 45n    

Mà BCNN ( a, b ) = 300     

BCNN ( 36n, 45n ) = 300       

=> 36n + 45n = 300        

=> n(36 + 45 ) = 260   

Kết luận: n. 81 = 260      

=> n = 260 : 81            

        = \(\frac{260}{81}\)