Bài toán 61

Đáp án

Kí hiệu S là diện tích tam giác.

Ta có: \(\frac{S_{OAC}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAM}}{S_{OBM}}\) ( vì cùng bằng tỉ số đường cao hạ từ A xuống CM / đường cao hạ từ B xuống CM)

Mà \(\frac{S_{OAM}}{SOBM}=\frac{MA}{MB}=1\) (Vì hai tam giác OAM và OBM có chung đường cao hạ từ O xuống BC)

=> \(\frac{S_{OAC}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAM}}{S_{OBM}}=\frac{MA}{MB}=1\)   (1)

Tương tự ta có:

\(\frac{S_{OAB}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAN}}{S_{OCN}}=\frac{NA}{MC}=\frac{1}{2}\)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

        \(S_{OAC}=S_{OBC}\)

        \(S_{OAB}=\frac{1}{2}S_{OBC}\)

=> \(\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{\frac{1}{2}S_{OBC}}{S_{OBC}}=\frac{1}{2}\)

Mặt khác ta cũng có:

\(\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{S_{OPB}}{S_{OPC}}=\frac{PB}{PC}\)

=> \(\frac{PB}{PC}=\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{1}{2}\)