Ta có $AI=\frac{2AO}{3}=\frac{2R}{3}$ suy ra $OI=R-\frac{2R}{3}=\frac{R}{3}$
$\Delta OCI$ vuông tại $O$, ta có:

$CI=\sqrt{O{C}^2+O{I}^2}=\sqrt{R^2+{\left(\frac{R}{3}\right)}^2}=\frac{R\sqrt{10}}{3}$

$\Delta CED$ nội tiếp đường tròn $O$ có cạnh $CD$ là đường kính nên $\Delta CED$ vuông tại $E$.

Hai tam giác vuông $OCI$ và $ECD$ có: $\angle C$ chung

Suy ra $\Delta OCI$~ $\Delta ECD$ (g.g)

Do đó $\frac{CO}{CE}=\frac{CI}{CD}$ hay $CE=\frac{CO.CD}{CI}=\frac{R.2R}{\frac{R\sqrt{10}}{3}}=\frac{6R}{\sqrt{10}}=\frac{3R\sqrt{10}}{5}$

Gọi $E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $\left(I\right)$ với các cạnh $AB,AC$.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AE=AF;BE=BD;CD=CF$.

Do đó $2BD=BD+BE$$=BC--CD+AB--AE$

$=BC+AB--\left(CD+AE\right)$$=BC+AB--\left(CF+AF\right)$

$=BC+AB--AC$.

Suy ra $BD=\frac{BC+AB-AC}{2}$

Gọi M là trung điểm của BC

Ta tính được AG = $\frac{2}{3}$AM = 10cm

Gọi N là trung điểm của AB => MN//AC, MN$\perp$AB

D,I,G thẳng hàng

<=> $\frac{AG}{AM}=\frac{AD}{AN}=\frac{2}{3}$ <=> $\frac{AD}{2AN}=\frac{1}{3}$ <=> $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$

Ta có AD = r nội tiếp = $\frac{AB+AC-BC}{2}$ <=> $\frac{AB}{3}=\frac{AB+AC-BC}{2}$

<=> AB+3AC = 3BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$

<=> 3AC = 4AB (đpcm)

Áp dụng kết quả trên ta có: AD = $\frac{AB+AC-BC}{2}$ = 3cm

=> ID = DA = 3cm => IG = DG – ID = 1cm

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=10$

      $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=24\left(c{m}^2\right)$

Vì $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I,r)$

$\to S_{ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)r$

$\to 24=\frac{1}{2}(6+10+8)r$

$\to r=2$