Điều kiện xác định: \(x \neq a , x \neq b , x \neq c\).

Xét tử số của vế trái nếu quy đồng, ta sẽ gặp biểu thức liên quan đến \(\left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right)\). Thường dạng này có thể biến đổi bằng đa thức bậc 2 – 3.

Gọi:

\(P \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) .\)

Khi đó:

• Đạo hàm của \(P \left(\right. x \left.\right)\):

\(P^{'} \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) .\)

Ngoài ra, ta cũng biết một số liên hệ dạng:

\(\frac{b c}{x - a} = \frac{b c \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right)}{\left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right)} .\)

Nên toàn bộ vế trái là:

\(\frac{b c \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + c a \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + a b \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right)}{\left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right)} .\)

Khai triển từng hạng tử:

1. \(b c \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) = b c \left(\right. x^{2} - \left(\right. b + c \left.\right) x + b c \left.\right) .\)
2. \(c a \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) = c a \left(\right. x^{2} - \left(\right. a + c \left.\right) x + a c \left.\right) .\)
3. \(a b \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) = a b \left(\right. x^{2} - \left(\right. a + b \left.\right) x + a b \left.\right) .\)

Cộng lại:

\(= \left(\right. b c + c a + a b \left.\right) x^{2} - \left[\right. b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. a + c \left.\right) + a b \left(\right. a + b \left.\right) \left]\right. x + \left(\right. b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + a^{2} b^{2} \left.\right) .\)

Nhớ rằng:

• \(S_{1} = a + b + c ,\)
• \(S_{2} = a b + b c + c a ,\)
• \(S_{3} = a b c .\)

Khi đó:

• Hệ số \(x^{2}\): \(S_{2}\).
• Hệ số \(x\): \(- \left[\right. b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right) + a b \left(\right. a + b \left.\right) \left]\right.\). Ta viết lại:

\(= - \left(\right. a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b \left.\right) = - \left(\right. S_{1} S_{2} - 3 S_{3} \left.\right) .\)

• Hằng số: a2b2+b2c2+c2a2.

Ta có:

\(\frac{\text{T}ử\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right)} = a^{2} + b^{2} + c^{2} .\)

Suy ra:

\(b c \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + c a \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) + a b \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) = \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left(\right. x - a \left.\right) \left(\right. x - b \left.\right) \left(\right. x - c \left.\right) .\)

Vì cả hai vế đều là đa thức bậc 3 (sau nhân mẫu), nên nghiệm sẽ là nghiệm của phương trình đa thức.

Dễ thấy nghiệm đặc biệt: nếu \(x = a + b + c\). Thử thay:

\(\frac{b c}{S_{1} - a} + \frac{c a}{S_{1} - b} + \frac{a b}{S_{1} - c} .\)

b,Chứng minh \(\angle A F E = \angle A C B\).

• Từ (a) có: \(\triangle A B E sim \triangle A C F\).
  ⇒ \(\angle A E B = \angle A F C\).
• Mà \(\angle A E B = 90^{\circ} \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}\).
• Xét tứ giác \(A F E C\):
  Có \(\angle A F C = 90^{\circ} , \&\text{nbsp}; \angle A E C = 90^{\circ}\) (vì \(B E \bot A C\)).
  ⇒ \(A F E C\) là tứ giác nội tiếp.
• Trong tứ giác nội tiếp: \(\angle A F E = \angle A C E\).
  Mà \(\angle A C E = \angle A C B\).
  ⇒ \(\angle A F E = \angle A C B\).

a,

• Tam Giac AEB=90∘ (vì \(B E \bot A C\)),
  \(TamGiacAFC=90^{\circ}\) (vì \(C F \bot A B\)).
  ⇒ \(\angle A E B = \angle A F C\).
• Xét hai góc tại đỉnh \(A\):
  \(\angle B A E\) và \(\angle C A F\).
  Dễ thấy chúng là cùng một góc \(\angle B A C\).
• Do đó \(\triangle A B E sim \triangle A C F\) (g-g).

Hệ quả từ đồng dạng:

\(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow A B \cdot A F = A C \cdot A E .\)

a,

• Khi \(x = 0\) ⇒ \(y = - 2 \left(\right. 0 \left.\right) + 1 = 1\) ⇒ Điểm \(A \left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\)
• Khi \(x = 1\) ⇒ \(y = - 2 \left(\right. 1 \left.\right) + 1 = - 1\) ⇒ Điểm \(B \left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\)
• ĐTHS y = 2mx + 1 với m = -1 đi qua 2 điểm A và B

Gọi \(x\) là quãng đường từ thành phố về quê (km)

• Thời gian về quê: \(\frac{x}{30}\) (giờ)
• Thời gian lên thành phố: \(\frac{x}{25}\) (giờ)

Theo đề bài:

\(\frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3}\)

Tìm mẫu chung là 150:

\(\frac{6 x - 5 x}{150} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{150} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{150}{3} = 50\)

a, 3x - 5 = 4

3x = 4 + 5

3x = 9

x = 3

b,

\(\frac{2 x}{3} = \frac{4 x}{6} , \frac{x}{2} = \frac{3 x}{6}\)

\(\frac{4 x}{6} + \frac{3 x - 1}{6} = \frac{3 x}{6}\)

\(\frac{4 x + 3 x - 1}{6} = \frac{3 x}{6} \Rightarrow \frac{7 x - 1}{6} = \frac{3 x}{6}\)

\(7 x - 1 = 3 x\)

\(7 x - 3 x = 1 \Rightarrow 4 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\)