Để bất phương trình cho có nghiệm đúng \(\forall x\in R\) khi và chỉ khi

\(\lrArr\begin{cases}m-1>0\\ \left(m-3\right)^2-16\left(m-1\right)<0\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ m^2-22m+25<0\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ 11-4\sqrt6

\(\lrArr m>11-4\sqrt6\)

mà m nguyên và \(11-4\sqrt6\) gần bằng \(1,2\)

Nên m có vô số nghiệm nguyên sao cho \(m\ge2\)

Nửa chu vi HCN:

\(200:2=100\left(m\right)\)

Nửa chu vi hình vuông :

\(100+10=110\left(m\right)\)

Chiều dài HCN :

\(110:4=27,5\left(m\right)\)

Chiều rộng HCN :

'\(27,5-10=17,5\left(m\right)\)

Diện tích HCN :

\(27,5x17,5=481,25\left(m^2\right)\)

Đáp số...

Ta áp dụng định lý thales trong tam giác ABC

\(\text{Vì AE}\)//\(AC\) nên\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

Vì DF//AB nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)

Khi đó \(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}\)=\(\dfrac{CD}{CB}+\dfrac{BD}{BC}\)=\(\dfrac{CD+BD}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\)

\(2024+202,4+20,24\cdot43+0,2024\cdot3700\)

\(=2024+\frac{2024}{10}+\frac{2024\cdot43}{100}+\frac{2024.3700}{10000}\)

\(=2024\left(1+\frac{1}{10}+\frac{43}{100}+\frac{37}{100}\right)\)

\(=2024\left(1+\frac{1}{10}+\frac{80}{100}\right)=2024\left(\frac{100+10+80}{100}\right)\)

\(=2024\cdot\frac{190}{100}=1012\cdot\frac{19}{5}=\frac{19228}{5}=3845,6\)

Chiều cao hình tam giác :

\(20:\frac53=20x\frac35=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình tam giác là :

\(\frac12x20x12=120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Đáp số \(120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Sửa lại đề bài \(S=\frac{7}{3.13}+\frac{7}{13.23}+\frac{7}{23.33}+\frac{7}{33.43}+\cdots+\frac{7}{53.63}\)

Theo đề bài ta có phân số quy luật sau

\(\frac{7}{\left(10n-7\right)\left(10n+3\right)}\left(n=1\rarr6\right)\)

\(=\frac{7}{10}\left(\frac{1}{10n-7}-\frac{1}{10n+3}\right)\)

\(\rArr S=\frac{7}{10}\left(\frac13-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{33}+\frac{1}{33}-\frac{1}{43}+\frac{1}{43}-\frac{1}{53}+\frac{1}{53}-\frac{1}{63}\right)\) \(\rArr S=\frac{7}{10}\left(\frac13-\frac{1}{63}\right)=\frac{7}{10}.\frac{20}{63}=\frac29\)

Vậy \(S=\frac29\)

Xét \(\Delta ABO':\)

\(AB\ge O'A-O'B\left(1\right)\)

Xét \(\Delta OAO':\)

\(O'A\ge O'O-OA\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow AB\ge O'O-OA-O'B=950-500-300=150\left(m\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(4\) điểm \(O;A;B;O'\) thẳng hàng

\(\Rightarrow\) Xây cầu có chiều dài là \(150\left(m\right)\) trên đoạn nối 2 tâm cầu 2 hòn đảo (O'O) thì cây cầu sẽ ngắn nhất.

a) Sửa lại đề bài \(xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+3xyz\)

 \(=xy\left(x+y\right)+xyz+yz\left(y+z\right)+xyz+zx\left(z+x\right)++xyz\)

\(=xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+zx\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

b) Đặt \(t=a-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3t-1=3a-7\\3t+1=3a-5\end{matrix}\right.\)

\(...=t\left(3t-1\right)\left(3t+1\right)-8\)

\(=t\left(9t^2-1\right)-8\)

\(=9t^3-t-8\)

\(=9t^3-9t+8t-8\)

\(=9\left(t^3-1\right)+8\left(t-1\right)\)

\(=9\left(t-1\right)\left(t^2+t+1\right)+8\left(t-1\right)\)

\(=\left(t-1\right)\left[9\left(t^2+t+1\right)+8\right]\)

\(=\left(t-1\right)\left(9t^2+9t+17\right)\)

\(=\left(a-3\right)\left[9\left(a-2\right)^2+9\left(a-2\right)+17\right]\)

\(2=1+\sqrt{1}\Rightarrow2=1+\sqrt{-1}.\sqrt{-1}\left(Sai\right)\)