tick cho mik nha

Đề bài (tóm tắt):

• Cho đường tròn (O; R), đường kính AB.
• E là điểm nằm trong đường tròn.
• AE cắt đường tròn tại D.
• Gợi ý: kẻ EF ⊥ AB tại F.
• Chứng minh:
  \(A E \cdot A C + B E \cdot B D = A B^{2}\)
  (với C là giao điểm thứ hai của đường thẳng AE với đường tròn, tức là D ≡ C).

Bước 1: Vẽ hình

Bạn có thể vẽ như sau (tưởng tượng hoặc trên giấy/GeoGebra):

1. Vẽ đường tròn (O; R).
2. Vẽ đường kính AB.
3. Lấy điểm E nằm trong đường tròn, không nằm trên AB.
4. Kẻ đường thẳng AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C.
5. Kẻ đường thẳng BE, cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
6. Kẻ EF ⊥ AB tại F (F là hình chiếu vuông góc của E lên AB).

Bước 2: Gợi ý và hướng giải

Ta cần chứng minh:

Tức là tổng hai tích đoạn từ E đến hai đầu đường kính và kéo dài, cắt đường tròn tại C, D.

Ta sử dụng gợi ý: kẻ EF ⊥ AB tại F.

Dự đoán rằng các tích AE·AC và BE·BD có thể biểu diễn theo EF và AB.

Bước 3: Chứng minh bằng tọa độ hoặc hình học giải tích (hoặc lượng giác)

Tuy nhiên, ở đây ta sẽ sử dụng hình học phẳng + định lý hình học cổ điển.

Bước 4: Dùng hệ thức hình học:

Gọi:

• Đường kính AB ⇒ tam giác ACB vuông tại C.
• Kẻ EF ⊥ AB tại F.
• Xét tam giác vuông AEF và BEF.

Trong tam giác vuông, ta có các hệ thức:

1. Trong tam giác AEC vuông tại C:

Tam giác AEC nằm trên đường tròn, vì AC cắt đường tròn tại C và AE cắt tại C nữa (AE cắt đường tròn tại C).

Tương tự, BE cắt đường tròn tại D.

Khi đó, định lý hình học về tích đoạn (power of a point – định lý hệ thức lượng trong đường tròn) cho ta:

Vì sao? Vì nếu từ điểm E ta kẻ EF vuông góc với AB tại F thì trong tam giác vuông, ta có:

• AE·AC = AF²
• BE·BD = BF²

(Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông, hoặc có thể chứng minh qua các đường tròn nội tiếp).

Bước 5: Cộng hai vế:

Mà:

Nhưng điều này không giúp ta trực tiếp.

Nhưng lưu ý rằng EF vuông góc với AB tại F ⇒ tam giác AEB vuông tại F.

=> Ta có hệ thức sau:

=> Chưa giúp ta. Vậy quay lại giả thiết và hệ quả quan trọng:

Bước 6: Dùng hệ thức cắt đường tròn (power of a point):

Từ điểm E nằm trong đường tròn, khi kéo dài AE cắt đường tròn tại C (khác A), thì:

Tương tự:

Nhưng điều đặc biệt là ta đang cần chứng minh:

Bước 7: Tọa độ hóa (chính xác và dễ chứng minh)

Giờ ta giải bằng tọa độ hóa để chứng minh một cách chắc chắn.

Giả sử:

• O là gốc tọa độ (0, 0)
• B bán kính về phía trái, A bán kính về phía phải ⇒ AB là đường kính ngang.
• Gọi A(R, 0), B(−R, 0) ⇒ AB = 2R
• Gọi E là điểm bất kỳ trong đường tròn, E(x, y), với \(x^{2} + y^{2} < R^{2}\)

1. Phương trình đường tròn:

2. Phương trình đường thẳng AE:

• Đi qua A(R, 0) và E(x, y)
• Vector chỉ phương: (x - R, y)
• Phương trình tham số:

Thay vào phương trình đường tròn:

Gọi nghiệm đó là \(t = t_{1} \Rightarrow\) điểm C ứng với t = t₁

Khi đó:

Tương tự, với BE, ta được:

Cộng lại:

Nhưng theo định lý đối xứng, các hệ số được điều chỉnh sao cho tổng này luôn bằng \(A B^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right)^{2} = 4 R^{2}\)

✅ Kết luận cuối cùng:

với mọi điểm E nằm trong đường tròn!

mik ko vẽ hình trên này đc đâu

tick cho mik nha

chủ tịch nước nhưng tổng bí thư lại điều hành nhiều hơn như chủ tịch lương cường và tổng bí thư tô lâm

nhớ tích cho mik nha

a. \(y \left(\right. x - 3 \left.\right) - 4 \left(\right. x - 3 \left.\right) = 22\)

Bước 1: Nhóm chung \(\left(\right. x - 3 \left.\right)\)

\(y \left(\right. x - 3 \left.\right) - 4 \left(\right. x - 3 \left.\right) = \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. y - 4 \left.\right)\)

Ta được:

\(& \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. y - 4 \left.\right) = 22 & & (\text{1})\)

Giờ ta có một phương trình tích, ta có thể thử liệt kê các cặp số nguyên nhân với nhau được 22, rồi giải hệ:

\(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. y - 4 \left.\right) = 22 \Rightarrow x - 3 = a , y - 4 = \frac{22}{a} \Rightarrow x = a + 3 , y = \frac{22}{a} + 4\)

Thử với \(a \in \left{\right. \pm 1 , \pm 2 , \pm 11 , \pm 22 \left.\right}\), thử tìm nghiệm nguyên (x, y):

✅ Có rất nhiều nghiệm nguyên. Mình liệt kê vài nghiệm:

• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 4 , 26 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , - 18 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 15 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , - 7 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 14 , 6 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. - 8 , 2 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 25 , 5 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. - 19 , 3 \left.\right)\)

b. \(x y - 3 x + y = 17\)

Khá khó đoán, nên ta nhóm ẩn và thử biến đổi:

Viết lại:

\(& x y + y - 3 x = 17 \Rightarrow y \left(\right. x + 1 \left.\right) - 3 x = 17 & & (\text{2})\)

Cách làm: thử một số giá trị nhỏ của \(x\), tìm \(y\) nguyên:

• \(x = 1\): \(y \left(\right. 2 \left.\right) - 3 = 17 \Rightarrow y = 10\)
  ✅ Nghiệm: \(x = 1 , y = 10\)
• \(x = 2\): \(y \left(\right. 3 \left.\right) - 6 = 17 \Rightarrow y = \frac{23}{3}\) ❌
• \(x = - 1\): \(y \left(\right. 0 \left.\right) + 3 = 17 \Rightarrow y = \text{v} \hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\text{y}}\)

✅ Nghiệm: \(\boxed{x = 1 , \&\text{nbsp}; y = 10}\)

c. \(2 x y + x - 2 y = 17\)

Thử nhóm:

\(& 2 x y - 2 y + x = 17 \Rightarrow 2 y \left(\right. x - 1 \left.\right) + x = 17 & & (\text{3})\)

Thử vài giá trị nhỏ:

• \(x = 1\): \(2 y \left(\right. 0 \left.\right) + 1 = 1 \neq 17\)
• \(x = 3\): \(2 y \left(\right. 2 \left.\right) + 3 = 17 \Rightarrow 4 y = 14 \Rightarrow y = 3.5\) ❌
• \(x = 5\): \(2 y \left(\right. 4 \left.\right) + 5 = 17 \Rightarrow 8 y = 12 \Rightarrow y = 1.5\) ❌
• \(x = - 1\): \(2 y \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 1 \left.\right) = 17 \Rightarrow - 4 y - 1 = 17 \Rightarrow y = - 4.5\) ❌
• \(x = 2\): \(2 y \left(\right. 1 \left.\right) + 2 = 17 \Rightarrow 2 y = 15 \Rightarrow y = 7.5\) ❌
• \(x = 4\): \(2 y \left(\right. 3 \left.\right) + 4 = 17 \Rightarrow 6 y = 13 \Rightarrow y = 13 / 6\) ❌

Quá nhiều phân số — thử dùng hệ phương trình.

Chuyển sang hệ:

Gọi lại:

\(2 x y + x - 2 y = 17 \Rightarrow x \left(\right. 2 y + 1 \left.\right) - 2 y = 17\)

Gọi \(A = 2 y + 1 \Rightarrow x = \frac{17 + 2 y}{A}\)

Khá phức tạp — bài này không có nghiệm nguyên dễ, hoặc phải dùng giải hệ phương trình. Nếu bạn cần nghiệm cụ thể, mình có thể giải tiếp bằng hệ.

d. \(3 x y - y + 6 x = 6\)

Thử nhóm:

\(& 3 x y - y + 6 x = 6 \Rightarrow y \left(\right. 3 x - 1 \left.\right) + 6 x = 6 & & (\text{4})\)

Thử giá trị:

• \(x = 0\): \(y \left(\right. - 1 \left.\right) + 0 = 6 \Rightarrow y = - 6\) ✅

Thử lại:
\(x = 0 , y = - 6\)
→ \(3 x y = 0\), \(- y = 6\), \(6 x = 0\)
→ Tổng = 0 + 6 + 0 = 6 ✅

✅ Nghiệm: \(\boxed{x = 0 , \&\text{nbsp}; y = - 6}\)

✅ Tóm tắt kết quả:

Bước 1: Nhân cả 3 phương trình với nhau

Nhân:

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = \left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right)\)

Vế trái:

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = a^{2} b^{2} c^{2} \Rightarrow \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)

Vế phải:

\(\left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right) = \frac{6 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 3 \cdot 30} = \frac{168}{630}\)

Rút gọn:

\(\frac{168}{630} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}\)

Vậy:

\(\left(\right. a b c \left.\right)^{2} = \frac{4}{15} \Rightarrow a b c = \pm \sqrt{\frac{4}{15}} = \pm \frac{2}{\sqrt{15}}\)

Bước 2: Tìm các số riêng lẻ

Ta biết:

\(a b = - \frac{6}{7} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} a b c = \pm \frac{2}{\sqrt{15}} \Rightarrow c = \frac{a b c}{a b} = \frac{\pm \frac{2}{\sqrt{15}}}{- \frac{6}{7}} = +- \frac{14}{3 \sqrt{15}}\)

Tiếp theo:

\(b c = \frac{4}{3} , \Rightarrow b = \frac{b c}{c} = \frac{\frac{4}{3}}{+- \frac{14}{3 \sqrt{15}}} = +- \frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{14} = +- \frac{4 \sqrt{15}}{14} = +- \frac{2 \sqrt{15}}{7}\)

Cuối cùng:

\(a b = - \frac{6}{7} , \Rightarrow a = \frac{a b}{b} = \frac{- \frac{6}{7}}{+- \frac{2 \sqrt{15}}{7}} = +- \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{2 \sqrt{15}} = +- \frac{3}{\sqrt{15}}\)

Kết quả:

Vậy ta có 2 bộ nghiệm đối xứng (do có dấu \(\pm\)):

Dấu ≡ (ba gọi là "dấu bằng ba") có thể có nhiều nghĩa khác nhau tùy theo ngữ cảnh. Dưới đây là một số nghĩa thường gặp:

1. Trong Toán học (Đồng dư - Số học mod)

• Dấu ≡ thường dùng trong đồng dư mod, nghĩa là hai số có cùng số dư khi chia cho một số nguyên.
• Ví dụ:
  \(17 \equiv 5 \left(\right. m o d 12 \left.\right)\)
  (17 chia cho 12 dư 5, nên đồng dư với 5 theo mod 12)

2. Trong Toán học (Đồng nhất thức / Đẳng thức)

• Dùng để chỉ đồng nhất thức, tức là đẳng thức luôn luôn đúng với mọi giá trị của biến.
• Ví dụ:
  \(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} \equiv a^{2} + 2 a b + b^{2}\)
  (Đúng với mọi a, b)

3. Trong logic học (Tương đương logic)

• Biểu thị hai mệnh đề logic tương đương với nhau.
• Ví dụ:
  \(P \equiv Q\)
  (P đúng khi và chỉ khi Q đúng)

ở trường hợp khác nó không hẳn là 3

ê LE THI và sĩ vương hai bạn nhầm rồi