Vì n⋮ 3 nên n(n+1)⋮ 3 (1)

Đặt n=3k (với kϵ N)

Ta có: n(n+1)=3k.(3k+1)=3k.[(3k+3)-2]=3k.(3k+3)-3k.2=9k(k+1)-6k

Vì k là số tự nhiên nên k có dạng 2m hoặc 2m+1 (m ∈ N)

+Với k=2m thì 9k(k+1)=9.2m.(2m+1)

Vì 9⋮ 3 và 2⋮ 2 nên 9.2m.(2m+1)⋮ 3.2=6

suy ra 9k(k+1) ⋮ 6 mà 6k ⋮6

nên 9k(k+1)-6k⋮ 6 hay n(n+1)⋮ 6 (1)

+Với k=2m+1 thì 9k(k+1)=9.(2m+1).(2m+2)=9.2.(2m+1)(m+1)

Vì 9⋮ 3 và 2⋮ 2 nên 9.2.(2m+1)(m+1)⋮ 3.2=6

suy ra 9k(k+1) ⋮ 6 mà 6k ⋮6

nên 9k(k+1)-6k⋮ 6 hay n(n+1)⋮ 6 (2)

Từ (1),(2) suy ra n(n+1)⋮ 6

Vậy nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Với n lẻ, đặt n=2k+1 (với kϵN)
Khi đó: n^3=(2k+1)^3=8k^3 +12k^2 +6k+1

Vì 8k^3 ⋮2, 12k^2 ⋮2, 6k ⋮2, 1 không chia hết cho 2

nên n^3=8k^3 +12k^2 +6k+1 không chia hết cho 2

hay n^3 lẻ

Vậy nếu n lẻ thì n^3 lẻ