cày lại đ

ko

Ta sẽ giải từng ý một cách rõ ràng và chặt chẽ.

Cho:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50}\)
Đây là cấp số nhân với:

• số hạng đầu \(a = 1\)
• công bội \(r = 5\)
• số hạng cuối là \(5^{50}\)
• số hạng: \(n = 51\)

a) Rút gọn B

Dùng công thức tổng cấp số nhân:

\(B = \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = \frac{5^{51} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{51} - 1}{4}\)

b) Tìm \(x\) sao cho \(4 B + 1 = 125^{x} + 1\)

Ta có:

\(4 B = 5^{51} - 1 \Rightarrow 4 B + 1 = 5^{51}\)

Mà:

\(125 = 5^{3} \Rightarrow 125^{x} = 5^{3 x}\)

Vậy để:

\(4 B + 1 = 5^{51} = 125^{x} = 5^{3 x} \Rightarrow 3 x = 51 \Rightarrow x = \boxed{17}\)

c) Chứng tỏ \(B\) chia hết cho 13

Ta biết:

\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)

Chứng minh: \(B \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
⇔ \(5^{51} - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 52 \left.\right)\)

Ta xét mod 13:

Chu kỳ của \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\):

→ Chu kỳ 4 ⇒ \(5^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

⇒ \(5^{51} = \left(\right. 5^{4} \left.\right)^{12} \cdot 5^{3} \equiv 1^{12} \cdot 5^{3} = 125 \equiv 125 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Tính: \(125 \div 13 = 9 \&\text{nbsp};\text{d}ư\&\text{nbsp}; 8 \Rightarrow 5^{51} \equiv 8 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

→ \(5^{51} - 1 \equiv 7 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow \boxed{B ≢ 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)}\)

👉 Vậy đề sai ở đây. Không chia hết cho 13.

✔️ Sửa lại ý c):

c) Chứng minh: B không chia hết cho 13

Đã chứng minh ở trên: \(5^{51} \equiv 8 \Rightarrow B \equiv \frac{8 - 1}{4} = \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) không nguyên ⇒ không chia hết cho 13.

d) Chứng minh B không chia hết cho 156 và tìm số dư

Số \(156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13\)

Ta xét chia hết cho từng thành phần:

• Chia hết cho 5: rõ ràng vì tất cả các số hạng trừ 1 đều chia hết cho 5
• Chia hết cho 4: \(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\) ⇒ không chia hết cho 4 (vì 4 không chia \(B\), mà lại là mẫu)
• Chia hết cho 13: đã chứng minh là không chia hết
• Chia hết cho 3?:

Tính: \(5 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), nên \(5^{k} \equiv 2^{k} \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

Mà \(2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), nên chu kỳ là 2:

\(2^{0} = 1\), \(2^{1} = 2\), \(2^{2} = 1\), \(2^{3} = 2\), ...

→ Tổng \(1 + 2 + 1 + 2 + \hdots\) trong 51 số hạng
Có 25 cặp \(\left(\right. 1 + 2 \left.\right) = 3\), còn dư 1 số đầu là 1

⇒ Tổng\(m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 = 1 + 25 \cdot 3 = 76 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)

⇒ Không chia hết cho 3

👉 Vì không chia hết cho 3 và 13 ⇒ không chia hết cho 156

Số dư của B chia cho 156

Tìm \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)

Biết:

\(B = \frac{5^{51} - 1}{4} \Rightarrow 4 B = 5^{51} - 1\)

Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)

Tách:

• \(156 = 12 \times 13\)
• Dùng Chinese Remainder Theorem (CRT):

Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)

\(5 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)

\(5^{2} = 25 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)

→ \(5^{51} = \left(\right. 5^{2} \left.\right)^{25} \cdot 5 \equiv 1^{25} \cdot 5 = 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)

→ \(5^{51} - 1 \equiv 4 \Rightarrow 4 B \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12 \Rightarrow B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)

Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Đã có ở trên: \(5^{51} \equiv 8 \Rightarrow B = \frac{8 - 1}{4} = \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Không nguyên ⇒ thử tính trực tiếp:

Tìm \(4 B \equiv 7 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 \Rightarrow B \equiv \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Nghịch đảo của 4 mod 13 là số \(x\) sao cho \(4 x \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

→ \(x = 10\) (vì \(4 \cdot 10 = 40 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\))

→ \(B \equiv 10 \cdot 7 = 70 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Bây giờ áp dụng CRT để tìm số \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\), sao cho:

• \(B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
• \(B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Tìm nghiệm của hệ:

\(\left{\right. B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \\ B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Dùng phương pháp thử:

• \(B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 \Rightarrow B = 13 k + 5\)
• Thế vào điều kiện đầu: \(13 k + 5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \Rightarrow 13 k \equiv - 4 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
• Mà \(13 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), nên: \(k \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \Rightarrow k = 3 m + 2\)

→ \(B = 13 k + 5 = 13 \left(\right. 3 m + 2 \left.\right) + 5 = 39 m + 26 + 5 = 39 m + 31\)

→ Số nhỏ nhất ứng với \(m = 0\): \(B \equiv \boxed{31} m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)

Bây giờ dùng lại với \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\), ta đã có:

• \(B \equiv 31 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)
• \(B \equiv ? m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

Nhớ: \(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\), nên \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) là 0 nếu \(5^{51} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

Mà \(5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 \Rightarrow 5^{k} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 \forall k\)

→ \(5^{51} \equiv 1 \Rightarrow B = \frac{1 - 1}{4} = 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

→ \(B \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

Kết hợp:

\begin{cases}

B \equiv 0 \mod 4 \
B \equiv 31 \mod 39
\end{cases}
\Rightarrow \text{Giải hệ này để tìm } B \mod 156
]

→ \(B = 4 a\), thay vào điều kiện dưới:

\(4 a \equiv 31 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39 \Rightarrow a \equiv \frac{31}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 39 \Rightarrow a \equiv x m o d \textrm{ } \textrm{ } 39 \&\text{nbsp};\text{sao}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 4 x \equiv 31 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)

Tìm nghịch đảo của 4 mod 39:

Dễ thấy \(4 \cdot 10 = 40 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)

→ \(x = 10 \cdot 31 = 310 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39 = 310 - 273 = 37\)

→ \(a = 37 \Rightarrow B = 4 a = \boxed{148 m o d \textrm{ } \textrm{ } 156}\)

e) Chứng minh B chia hết cho 5

Rõ ràng: tất cả các số hạng trừ 1 đều là bội của 5:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} = \left(\right. 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} \left.\right) + 1\)

⇒ Tổng các số sau số 1 đều chia hết cho 5, nên tổng dư 1 khi chia 5

Nhưng tổng đầy đủ chia hết cho 5 ⇔ \(5^{51} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\)

Nhưng thực tế:
\(5^{k} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) nếu \(k \geq 1\)

→ Vậy:

• \(5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\)
• \(B = 1 + 0 = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 \Rightarrow \boxed{\text{Kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp};\text{5}}\)

👉 Câu e sai. B không chia hết cho 5, dư 1

f) So sánh \(4 B\) và \(8^{39}\)

Ta có:

• \(4 B = 5^{51} - 1\)
• \(8 = 2^{3} \Rightarrow 8^{39} = 2^{117}\)

So sánh \(5^{51}\) và \(2^{117}\)

Logarit 2 cơ số 10 ≈ 0.3010
Log 5 ≈ 0.6990

\(\left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) = 51 \cdot 0.6990 \approx 35.65 \left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right) = 117 \cdot 0.3010 \approx 35.22\)

⇒ \(log ⁡ \left(\right. 5^{51} \left.\right) > log ⁡ \left(\right. 2^{117} \left.\right) \Rightarrow \boxed{5^{51} > 2^{117}}\)

⇒ \(4 B = 5^{51} - 1 > 2^{117} = 8^{39}\)

👉 Kết luận: \(\boxed{4 B > 8^{39}}\)

g) Tìm chữ số tận cùng của B

Tức là: \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)

Ta biết:

\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)

→ Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\), rồi trừ 1, rồi chia 4, rồi lấy mod 10

Bước 1: Tìm \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)

Vì \(5^{k} \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 10 \forall k \geq 1\)

→ \(5^{51} \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 10 \Rightarrow 5^{51} - 1 \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)

→ \(B = \frac{4}{4} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)

✅ TÓM TẮT ĐÁP ÁN

• a) \(B = \boxed{\frac{5^{51} - 1}{4}}\)
• b) \(x = \boxed{17}\)
• c) \(B\) không chia hết cho 13
• d) \(B\) không chia hết cho 156, số dư là \(\boxed{148}\)
• e) \(B\) không chia hết cho 5, dư \(\boxed{1}\)
• f) \(\boxed{4 B > 8^{39}}\)
• g) Chữ số tận cùng của \(B\) là \(\boxed{1}\)

Nếu cần giải thích chi tiết bước nào, bạn cứ nói nhé.

Gọi số tiền ông Hùng gửi vào:

• Ngân hàng 1 là: x (triệu đồng),
• Ngân hàng 2 là: 20 - x (triệu đồng) (vì tổng cộng là 20 triệu).

Lãi sau 1 năm:

• Ngân hàng 1: \(x \times 6 \% = 0.06 x\) (triệu đồng)
• Ngân hàng 2: \(\left(\right. 20 - x \left.\right) \times 8 \% = 0.08 \left(\right. 20 - x \left.\right)\) (triệu đồng)

Tổng lãi sau 1 năm là: 1.38 triệu đồng (tức 1380 nghìn đồng)

Lập phương trình:

\(0.06 x + 0.08 \left(\right. 20 - x \left.\right) = 1.38\)

Giải phương trình:

\(0.06 x + 1.6 - 0.08 x = 1.38 - 0.02 x + 1.6 = 1.38 - 0.02 x = 1.38 - 1.6 = - 0.22 x = \frac{- 0.22}{- 0.02} = 11\)

Vậy:

• Gửi ngân hàng 1: 11 triệu đồng
• Gửi ngân hàng 2: 9 triệu đồng

Gọi:

• \(x\) là số tiền ông Hùng gửi vào ngân hàng 1 (lãi suất 6%/năm),
• \(y\) là số tiền ông Hùng gửi vào ngân hàng 2 (lãi suất 8%/năm).

Ta có 2 điều kiện:

1. Tổng số tiền gửi là 20 triệu đồng:

\(x + y = 20 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \left(\right. 1 \left.\right)\)

1. Tổng số tiền lãi sau 1 năm là 1.380.000 đồng:

\(0.06 x + 0.08 y = 1 \textrm{ } 380 \textrm{ } 000 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ (1):

\(y = 20 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 - x\)

Thế vào (2):

\(0.06 x + 0.08 \left(\right. 20 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 - x \left.\right) = 1 \textrm{ } 380 \textrm{ } 000\) 0.06x + 1\,600\,000 - 0.08x = 1\,380\,000 \

ko

chào bn

Ta cần giải hệ phương trình:

\(\left{\right. \left(\right. x - 1 \left.\right) y^{2} + x + y = 3 (\text{1}) \\ \left(\right. y - 2 \left.\right) x^{2} + y = x + 1 (\text{2})\)

🔹 Bước 1: Thử tìm nghiệm nguyên đơn giản

Thử các giá trị nhỏ của \(x , y\) xem có nghiệm nào không.

Thử \(x = 1\):

Thay vào (1):

\(\left(\right. 1 - 1 \left.\right) y^{2} + 1 + y = 3 \Rightarrow 1 + y = 3 \Rightarrow y = 2\)

Thử lại cặp \(x = 1 , y = 2\) vào (2):

\(\left(\right. 2 - 2 \left.\right) \cdot 1^{2} + 2 = 1 + 1 \Rightarrow 0 + 2 = 2 \Rightarrow Đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\)

✅ Vậy \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 2 \left.\right)\) là một nghiệm.

🔹 Bước 2: Thử tìm nghiệm khác

Thử \(x = 0\):

Phương trình (1):

\(\left(\right. 0 - 1 \left.\right) y^{2} + 0 + y = 3 \Rightarrow - y^{2} + y = 3 \Rightarrow y^{2} - y + 3 = 0\)

Phương trình vô nghiệm (vì delta < 0)

Thử \(y = 0\):

PT (1):

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \cdot 0 + x + 0 = 3 \Rightarrow x = 3\)

Thử \(x = 3 , y = 0\) vào PT (2):

\(\left(\right. 0 - 2 \left.\right) \cdot 9 + 0 = 3 + 1 \Rightarrow - 18 = 4 \Rightarrow \text{Sai}\)

🔹 Bước 3: Biến đổi hệ phương trình

Ta viết lại hệ:

\(\left{\right. \left(\right. x - 1 \left.\right) y^{2} + x + y = 3 \left(\right. 1 \left.\right) \\ \left(\right. y - 2 \left.\right) x^{2} + y = x + 1 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Phương trình (1):

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) y^{2} + x + y - 3 = 0\)

Phương trình (2):

\(\left(\right. y - 2 \left.\right) x^{2} - x + y - 1 = 0\)

🔹 Bước 4: Đặt biến trung gian

Không dễ đưa về dạng thế hoặc cộng đại số. Thử giải theo kiểu thử thêm nghiệm.

Thử \(x = 2\)

Phương trình (1):

\(\left(\right. 2 - 1 \left.\right) y^{2} + 2 + y = 3 \Rightarrow y^{2} + y + 2 = 3 \Rightarrow y^{2} + y - 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 4 = 5 > 0 \Rightarrow y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

→ \(y\) không nguyên.

Thử \(y = 1\)

PT (1):

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \cdot 1^{2} + x + 1 = 3 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) + x + 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1.5\)

Không nguyên.

🔹 Kết luận

Sau khi thử một số giá trị, nghiệm duy nhất nguyên và hợp lý là:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 2 \left.\right)}\)

Nếu bạn muốn kiểm tra có nghiệm thực khác hay không, ta có thể tiếp tục giải bằng phương pháp đại số hoặc đồ thị, nhưng trong phạm vi các nghiệm hữu tỉ và nguyên, nghiệm duy nhất là:

\(\boxed{x = 1 , y = 2}\)

Để giải bài toán này, ta cần tìm số lượng từng loại nuclêôtit (A, T, G, X) trên từng mạch của 4 gen có chiều dài bằng nhau là 0,51 micromet = 5100 Å (vì 1 micromet = 10⁴ Å), và độ dài mỗi cặp base là 3,4 Å.

🔹 Bước 1: Tính số cặp base của mỗi gen

Vì mỗi cặp base dài 3,4 Å nên:

\(\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{c}ặ\text{p}\&\text{nbsp};\text{base} = \frac{5100}{3 , 4} = 1500 \&\text{nbsp};\text{c}ặ\text{p}\&\text{nbsp};\text{base} \Rightarrow 3000 \&\text{nbsp};\text{nucleotit}\&\text{nbsp};(\text{t}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nu}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{gen})\)

🔹 Bước 2: Gen 1 – Biết tỉ lệ A:T:G:X = 1:2:3:4 trên 1 mạch

Giả sử trên một mạch, số lượng từng loại nu là:

• A = x
• T = 2x
• G = 3x
• X = 4x

Tổng số nu trên một mạch:

\(x + 2 x + 3 x + 4 x = 10 x = 1500 \Rightarrow x = 150\)

Vậy:

• A = 150
• T = 300
• G = 450
• X = 600

Vì gen có 2 mạch bổ sung, nên mạch còn lại sẽ có:

• T bổ sung với A ⇒ T = 150
• A bổ sung với T ⇒ A = 300
• X bổ sung với G ⇒ X = 450
• G bổ sung với X ⇒ G = 600

✅ Gen 1:

• Mạch 1: A=150, T=300, G=450, X=600
• Mạch 2: A=300, T=150, G=600, X=450

🔹 Bước 3: Gen 2 – Biết trên 1 mạch: A = 100, G = 400

Suy ra:

• Tổng số nu trên 1 mạch = 1500
• A = 100
• G = 400
  → T + X = 1500 - (100 + 400) = 1000

Vì gen có tỉ lệ các loại nu bằng nhau (A = T, G = X toàn gen), nên toàn gen:

• A = T, G = X ⇒ Tổng A = Tổng T = 2A, G = X = 2G

Trên toàn gen có 3000 nu, tức là:

\(2 A + 2 G = 3000 \Rightarrow A + G = 1500 \Rightarrow A = 100 \Rightarrow G = 400 \Rightarrow \text{C} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i}:\&\text{nbsp}; T = 1400 , X = 1100\)

Ta có:

• Trên 1 mạch: A=100, G=400 ⇒ T+X=1000
  ⇒ Đặt T = y ⇒ X = 1000 − y
  → Trên mạch bổ sung: T = 100, A = 400, G = y, X = 1000 − y

Nhưng ta cần A toàn gen = T toàn gen ⇒ A1 + A2 = T1 + T2
→ 100 + 400 = y + 100 ⇒ y = 400
→ X = 600

✅ Gen 2:

• Mạch 1: A=100, T=400, G=400, X=600
• Mạch 2: A=400, T=100, G=600, X=400

🔹 Bước 4: Gen 3 – Trên 1 mạch: A = 200, G = 500

→ Tổng = 1500 ⇒ T + X = 800
→ A + G = 700
→ A toàn gen = 2A = 400
→ G toàn gen = 2G = 1000
→ T toàn gen = 2600 − 1000 − 400 = 600
→ X toàn gen = 3000 − (A + T + G) = 3000 − 2000 = 1000

→ Trên 1 mạch: A=200, G=500, T=?, X=?

→ T + X = 800 ⇒ T = y ⇒ X = 800 − y
→ Trên mạch 2: A=500, T=200, G=y, X=800 − y
→ A tổng: 200 + 500 = 700
→ T tổng: y + 200 ⇒ y = 400
→ X = 400

✅ Gen 3:

• Mạch 1: A=200, T=400, G=500, X=400
• Mạch 2: A=500, T=200, G=400, X=400

🔹 Bước 5: Gen 4 – Trên 1 mạch: A = 250, G = 550

→ Tổng = 1500 ⇒ T + X = 700
→ A + G = 800
→ A toàn gen = 2A = 500
→ G toàn gen = 2G = 1100
→ T = 500, X = 900

→ T + X = 700 ⇒ T = y ⇒ X = 700 − y
→ Trên mạch 2: A=550, T=250, G=y, X=700 − y
→ A tổng = 250 + 550 = 800
→ T tổng = y + 250 ⇒ y = 250
→ X = 450

✅ Gen 4:

• Mạch 1: A=250, T=250, G=550, X=450
• Mạch 2: A=550, T=250, G=250, X=450

✅ Tóm tắt kết quả:

mk lớp 4