vì BC vuông góc vs AB' và B'C' vuông góc vs AB' => BC// B'C'

theo hệ quả định lí thales, ta có;

AB/AB' = BC/BC' => x/x+h = a/a'

=> a'.x = a(x+h)

a'x = ax + ah

a'x - ax = ah

x(a'-a) = ah => x= ah/a'-a (đpcm)

Trong tam giác ADB , ta có MN/AB

AB

$Theo\; hệ\; quả\; của\; định\; lí\; thales,\; ta\; có:\; DN/DB\; =\; MN/AB$

$Trong\; tam\; giác\; ACB,\; có\; PQ\; //AB\; (1)$

$theo\; hệ\; quả\; của\; định\; lí\; thales,\; ta\; có\; CQ/CB\; =\; PQ/AB(2)$

$Vì\; NQ//AB\; mà\; AB\; //\; CD\; =>\; NQ//CD$

$trong\; tam\; giác\; BDC,\; có\; NQ\; //\; CD\; =>\; DN/DB\; =\; CQ/CB(3)$

$Từ\; 1,2,3\; =>\; MN/AB\; =\; PQ/AB\; hay\; MN\; =\; PQ\; (dpcm)$

gọi I là trung điểm của BC

=> AI là trung tuyến của tam giác ABC

Vì G là trọng tâm => AG = 2/3 AI

Vì MG//AB , áp dụng định lí thales => AG/AI = BM/BI = 2/3

BD = CD vì I trung điểm của cạnh BC => BM/BC = BM/2BD = 2/6 = 1/3

=> BM = 1/3BC ( đpcm)

Áp dụng hệ quả của định lí Thales , ta có:

OA/OC = OB/OD 

=> OA.OD = OB.OC ( đpcm)

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:

DE // AC nên AE/AB = CD/BC

DF // AC nên AF/AC = BD/BC

Khi đó, AE/AB + AF/AC = CD/BC + BD/BC = BC/BC = 1