Để giải quyết bài toán, ta cần áp dụng công thức phân rã phóng xạ, sử dụng chu kỳ bán rã và thời gian phân rã để tính phần trăm polonium \(^{210}Po\) còn lại trong mẫu.

### Bước 1: Công thức phân rã phóng xạ

Sự phân rã của polonium tuân theo công thức:

\[

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

\]

Trong đó:

- \(N(t)\) là số lượng hạt nhân \(^{210}Po\) còn lại sau thời gian \(t\),

- \(N_0\) là số lượng hạt nhân ban đầu,

- \(\lambda\) là hằng số phân rã,

- \(t\) là thời gian phân rã.

### Bước 2: Tính hằng số phân rã \(\lambda\)

Chu kỳ bán rã \(T_{1/2}\) của polonium là 138,4 ngày. Hằng số phân rã \(\lambda\) được tính bằng công thức:

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

\]

Với \(T_{1/2} = 138,4 \, \text{ngày}\), ta có:

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{138,4} \approx 0,005 \, \text{ngày}^{-1}

\]

### Bước 3: Tính số lượng polonium còn lại sau 276 ngày

Thời gian \(t = 276 \, \text{ngày}\), ta sử dụng công thức phân rã để tính phần trăm polonium còn lại trong mẫu.

\[

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

\]

Thay vào giá trị \(\lambda = 0,005 \, \text{ngày}^{-1}\) và \(t = 276 \, \text{ngày}\):

\[

N(276) = N_0 \cdot e^{-0,005 \times 276} = N_0 \cdot e^{-1,38} \approx N_0 \cdot 0,251

\]

Vậy, phần trăm polonium còn lại là \(25,1\%\) của số lượng ban đầu.

### Bước 4: Xem xét tạp chất

Ban đầu, mẫu có 50% là polonium \(^{210}Po\) và 50% là tạp chất. Do đó, sau khi phân rã, phần polonium còn lại trong mẫu vẫn chiếm 50% khối lượng ban đầu của mẫu. Vì vậy, phần polonium \(^{210}Po\) còn lại trong mẫu là:

\[

50\% \times 25,1\% = 12,55\%

\]

### Kết luận:

Sau 276 ngày, phần trăm polonium \(^{210}Po\) còn lại trong mẫu là **12,55%**.

Trong quá trình phân rã của \( \text{X}^{235} \) thành \( \text{Y}^{207} \), chúng ta cần xác định số lượng hạt \( \alpha \) và hạt \( \beta^- \) được phát ra.

1. **Phân rã alpha** (\( \alpha \)) làm giảm số proton và số khối của hạt nhân. Mỗi phân rã alpha giảm 2 proton và 4 đơn vị khối.

2. **Phân rã beta minus** (\( \beta^- \)) không thay đổi số khối, nhưng tăng số proton lên 1.

### Bước 1: Xác định sự thay đổi về số proton và số khối

Ban đầu, hạt nhân \( \text{X}^{235} \) có 92 proton và 235 số khối.

Kết thúc, hạt nhân \( \text{Y}^{207} \) có 82 proton và 207 số khối.

- Số proton giảm: \( 92 - 82 = 10 \) proton.

- Số khối giảm: \( 235 - 207 = 28 \) đơn vị khối.

### Bước 2: Số hạt alpha (\( \alpha \)) phát ra

Mỗi phân rã alpha làm giảm 2 proton và 4 đơn vị khối. Vậy số lần phân rã alpha cần thiết là:

- Số lần phân rã alpha (\( n_{\alpha} \)) giảm 10 proton, nên \( n_{\alpha} = \frac{10}{2} = 5 \) lần.

- Số lần phân rã alpha (\( n_{\alpha} \)) giảm 28 đơn vị khối, nên \( n_{\alpha} = \frac{28}{4} = 7 \) lần.

Như vậy, phải có 5 lần phân rã alpha, nhưng để cân bằng số khối, tổng số lần phân rã alpha là 7 lần.

### Bước 3: Số hạt beta (\( \beta^- \)) phát ra

Mỗi phân rã beta tăng số proton lên 1, và vì tổng số proton giảm 10 proton từ 92 xuống 82, số lần phân rã beta là 10 lần.

### Kết luận:

- Số hạt alpha phát ra: **7**.

- Số hạt beta phát ra: **10**.

Trong quá trình phân rã của \( \text{X}^{235} \) thành \( \text{Y}^{207} \), chúng ta cần xác định số lượng hạt \( \alpha \) và hạt \( \beta^- \) được phát ra.

1. **Phân rã alpha** (\( \alpha \)) làm giảm số proton và số khối của hạt nhân. Mỗi phân rã alpha giảm 2 proton và 4 đơn vị khối.

2. **Phân rã beta minus** (\( \beta^- \)) không thay đổi số khối, nhưng tăng số proton lên 1.

### Bước 1: Xác định sự thay đổi về số proton và số khối

Ban đầu, hạt nhân \( \text{X}^{235} \) có 92 proton và 235 số khối.

Kết thúc, hạt nhân \( \text{Y}^{207} \) có 82 proton và 207 số khối.

- Số proton giảm: \( 92 - 82 = 10 \) proton.

- Số khối giảm: \( 235 - 207 = 28 \) đơn vị khối.

### Bước 2: Số hạt alpha (\( \alpha \)) phát ra

Mỗi phân rã alpha làm giảm 2 proton và 4 đơn vị khối. Vậy số lần phân rã alpha cần thiết là:

- Số lần phân rã alpha (\( n_{\alpha} \)) giảm 10 proton, nên \( n_{\alpha} = \frac{10}{2} = 5 \) lần.

- Số lần phân rã alpha (\( n_{\alpha} \)) giảm 28 đơn vị khối, nên \( n_{\alpha} = \frac{28}{4} = 7 \) lần.

Như vậy, phải có 5 lần phân rã alpha, nhưng để cân bằng số khối, tổng số lần phân rã alpha là 7 lần.

### Bước 3: Số hạt beta (\( \beta^- \)) phát ra

Mỗi phân rã beta tăng số proton lên 1, và vì tổng số proton giảm 10 proton từ 92 xuống 82, số lần phân rã beta là 10 lần.

### Kết luận:

- Số hạt alpha phát ra: **7**.

- Số hạt beta phát ra: **10**.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đo tuổi đồng vị phóng xạ, đặc biệt là phương pháp sử dụng chuỗi phân rã của urani-238 (\(^{238} U\)) và chì-206 (\(^{206} P b\)).

Công thức tính tuổi đá

Phương pháp này dựa vào sự tích tụ của \(^{206} P b\) từ quá trình phân rã của \(^{238} U\). Công thức tính tuổi của đá là:

\(T = \frac{1}{\lambda} ln ⁡ \left(\right. \frac{N_{P b}}{N_{U}} + 1 \left.\right)\)

Trong đó:

• \(T\) là tuổi của đá.
• \(\lambda\) là hằng số phân rã của \(^{238} U\).
• \(N_{P b}\) là số mol của \(^{206} P b\).
• \(N_{U}\) là số mol của \(^{238} U\).

Bước 1: Tính hằng số phân rã \(\lambda\) của \(^{238} U\)

Chu kỳ bán rã của \(^{238} U\) là \(4 , 47 \times 10^{9}\) năm. Hằng số phân rã \(\lambda\) được tính bằng công thức:

\(\lambda = \frac{ln ⁡ 2}{t_{1 / 2}} = \frac{ln ⁡ 2}{4 , 47 \times 10^{9} \textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m}} \approx 1 , 55 \times 10^{- 10} \textrm{ } \left(\text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m}\right)^{- 1}\)

Bước 2: Tính số mol của \(^{238} U\) và \(^{206} P b\)

Từ khối lượng cho sẵn, ta có thể tính số mol của các chất này.

• Khối lượng của \(^{238} U\) là 46,97 mg = \(46 , 97 \times 10^{- 3}\) g.
• Khối lượng mol của \(^{238} U\) là 238 g/mol.

Số mol của \(^{238} U\) là:

\(N_{U} = \frac{46 , 97 \times 10^{- 3}}{238} \approx 1 , 97 \times 10^{- 4} \textrm{ } \text{mol}\)

Tương tự, ta có:

• Khối lượng của \(^{206} P b\) là 23,15 mg = \(23 , 15 \times 10^{- 3}\) g.
• Khối lượng mol của \(^{206} P b\) là 206 g/mol.

Số mol của \(^{206} P b\) là:

\(N_{P b} = \frac{23 , 15 \times 10^{- 3}}{206} \approx 1 , 12 \times 10^{- 4} \textrm{ } \text{mol}\)

Bước 3: Tính tuổi của khối đá

Áp dụng công thức tính tuổi:

\(T = \frac{1}{\lambda} ln ⁡ \left(\right. \frac{N_{P b}}{N_{U}} + 1 \left.\right)\)

Thay các giá trị vào:

\(T = \frac{1}{1 , 55 \times 10^{- 10}} ln ⁡ \left(\right. \frac{1 , 12 \times 10^{- 4}}{1 , 97 \times 10^{- 4}} + 1 \left.\right)\)

Tính giá trị trong dấu ngoặc:

\(\frac{1 , 12 \times 10^{- 4}}{1 , 97 \times 10^{- 4}} \approx 0 , 569\)\(0 , 569 + 1 = 1 , 569\)

Tiếp theo, tính logarit tự nhiên:

\(ln ⁡ \left(\right. 1 , 569 \left.\right) \approx 0 , 451\)

Cuối cùng, tính tuổi:

\(T = \frac{1}{1 , 55 \times 10^{- 10}} \times 0 , 451 \approx 2 , 91 \times 10^{9} \textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m}\)

Kết luận:

Tuổi của khối đá là khoảng 2,91 tỉ năm.

Để xác định thể tích máu của bệnh nhân, ta có thể sử dụng công thức liên quan đến độ phóng xạ và chu kỳ bán rã của đồng vị phóng xạ.

### Dữ liệu trong bài toán:

- Chu kỳ bán rã của đồng vị phóng xạ \(^{24}Na\) là 15 giờ.

- Độ phóng xạ ban đầu \(R_0 = 2 \, \mu Ci = 2 \times 10^{-6} \, Ci\).

- Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ trong 1 cm³ máu là 502 phân rã/phút.

- Cần tính thể tích máu của bệnh nhân.

### Bước 1: Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ

Đầu tiên, ta tính độ phóng xạ còn lại sau 7,5 giờ. Độ phóng xạ theo thời gian được tính bằng công thức:

\[

R(t) = R_0 \cdot e^{-\lambda t}

\]

Trong đó:

- \(R_0\) là độ phóng xạ ban đầu.

- \(\lambda\) là hằng số phân rã, được tính bằng:

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}

\]

Với chu kỳ bán rã \(t_{1/2} = 15 \, \text{giờ}\), ta có:

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{15} \approx 0.0462 \, \text{giờ}^{-1}

\]

Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ sẽ là:

\[

R(7,5) = R_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 7,5} = 2 \times 10^{-6} \cdot e^{-0.0462 \times 7,5}

\]

\[

R(7,5) = 2 \times 10^{-6} \cdot e^{-0.3465} \approx 2 \times 10^{-6} \cdot 0.707

\]

\[

R(7,5) \approx 1.414 \times 10^{-6} \, \text{Ci}

\]

### Bước 2: Tính độ phóng xạ trong 1 cm³ máu

Chuyển đổi độ phóng xạ từ \( \text{Ci} \) sang phân rã/phút:

1 \( \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{phân rã/giây} \).

1 phút = 60 giây, do đó 1 \( \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \times 60 = 2.22 \times 10^{12} \, \text{phân rã/phút} \).

Do đó, độ phóng xạ sau 7,5 giờ là:

\[

R(7,5) = 1.414 \times 10^{-6} \, \text{Ci} = 1.414 \times 10^{-6} \times 2.22 \times 10^{12} \, \text{phân rã/phút}

\]

\[

R(7,5) \approx 3.14 \times 10^6 \, \text{phân rã/phút}

\]

### Bước 3: Tính thể tích máu

Ta biết rằng độ phóng xạ trong 1 cm³ máu là 502 phân rã/phút. Để tính thể tích máu \( V \), ta có thể dùng tỷ lệ độ phóng xạ giữa mẫu máu và tổng độ phóng xạ:

\[

V = \frac{R(7,5)}{502} = \frac{3.14 \times 10^6}{502} \approx 6250 \, \text{cm}^3

\]

### Kết luận:

Thể tích máu của bệnh nhân là khoảng **6250 cm³** (hay 6,25 lít).

a) Tính bán kính của hạt nhân \(^{226} R a\)

Công thức tính bán kính hạt nhân \(r\) là:

\(r = r_{0} \cdot A^{1 / 3}\)

Với:

• \(r_{0} = 1 , 4 \times 10^{- 15} \textrm{ } \text{m}\)
• \(A\) là số khối của hạt nhân, đối với hạt nhân \(^{226} R a\), \(A = 226\).

Thay các giá trị vào công thức:

\(r = 1 , 4 \times 10^{- 15} \cdot 226^{1 / 3}\)

Tính \(226^{1 / 3}\):

\(226^{1 / 3} \approx 6.12\)

Vậy:

\(r \approx 1 , 4 \times 10^{- 15} \times 6.12 \approx 8 , 57 \times 10^{- 15} \textrm{ } \text{m}\)

Kết luận: Bán kính của hạt nhân \(^{226} R a\) là khoảng 8,57 fm (femtomet).

b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân \(^{226} R a\) và năng lượng liên kết riêng

1. Tính năng lượng liên kết

Để tính năng lượng liên kết, ta cần biết khối lượng thiếu hụt của hạt nhân, tức là hiệu giữa tổng khối lượng các nucleon (proton và neutron) và khối lượng của hạt nhân.

Khối lượng của hạt nhân \(^{226} R a\): \(m_{\text{Ra}} = 226 , 0254 \textrm{ } \text{amu}\).

Khối lượng của proton \(m_{p}\): \(m_{p} = 1 , 007276 \textrm{ } \text{amu}\).

Khối lượng của neutron \(m_{n}\): \(m_{n} = 1 , 008665 \textrm{ } \text{amu}\).

Số proton trong hạt nhân \(^{226} R a\) là \(Z = 88\), và số neutron là:

\(N = A - Z = 226 - 88 = 138\)

Khối lượng của tổng số proton và neutron trong hạt nhân là:

\(m_{\text{t}ổ\text{ng}} = Z \cdot m_{p} + N \cdot m_{n} = 88 \cdot 1 , 007276 + 138 \cdot 1 , 008665\)\(m_{\text{t}ổ\text{ng}} = 88 \cdot 1 , 007276 + 138 \cdot 1 , 008665 = 88 , 6394 + 139 , 198 = 227 , 8374 \textrm{ } \text{amu}\)

Khối lượng thiếu hụt \(\Delta m\) là:

\(\Delta m = m_{\text{t}ổ\text{ng}} - m_{\text{Ra}} = 227 , 8374 - 226 , 0254 = 1 , 812 \textrm{ } \text{amu}\)

Năng lượng liên kết \(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}}\) được tính bằng công thức:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}} = \Delta m \cdot c^{2}\)

Với \(c = 3 \times 10^{8} \textrm{ } \text{m}/\text{s}\) và 1 amu tương đương \(931 , 5 \textrm{ } \text{MeV} / c^{2}\), ta có:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}} = 1 , 812 \cdot 931 , 5 \textrm{ } \text{MeV} = 1 , 687 , 6 \textrm{ } \text{MeV}\)

Kết luận: Năng lượng liên kết của hạt nhân \(^{226} R a\) là khoảng 1.687,6 MeV.

2. Tính năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết riêng là năng lượng liên kết trên mỗi nucleon, được tính theo công thức:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{ri} \hat{\text{e}} \text{ng}} = \frac{E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}}}{A}\)

Với \(A = 226\), ta có:

\(E_{\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{ri} \hat{\text{e}} \text{ng}} = \frac{1.687 , 6}{226} \approx 7 , 47 \textrm{ } \text{MeV}/\text{nucleon}\)

Kết luận: Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân \(^{226} R a\) là khoảng 7,47 MeV/nucleon.

Tổng kết:

a) Bán kính hạt nhân \(^{226} R a\) là khoảng 8,57 fm.
b) Năng lượng liên kết của hạt nhân \(^{226} R a\) là 1.687,6 MeV và năng lượng liên kết riêng là 7,47 MeV/nucleon.

Suất điện động cảm ứng cực đại là xấp xỉ 0,0126 V.

0,001152 N

0.0956 m