Vậy phần trăm {}^{210}Po còn lại trong mẫu sau 276 ngày là:

\boxed{12,55\%}

Bảo toàn số khối (A):

235 = 207 + 4a \Rightarrow 4a = 28 \Rightarrow a = 7

92 = 82 + 2a - b \Rightarrow 92 = 82 + 2 \cdot 7 - b \Rightarrow 92 = 96 - b \Rightarrow b = 4

Ta được biết:

• Ban đầu: m_0 = 1 \, \text{mg}
• Sau 15,2 ngày, chất phóng xạ giảm 93,75%, tức chỉ còn lại 100\% - 93,75\% = 6,25\% khối lượng ban đầu.
  m = 6,25\% \times 1 = 0,0625 \, \text{mg}
• Thời gian: t = 15,2 \, \text{ngày}

Ta dùng công thức phân rã phóng xạ:

m = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}

Trong đó:

• T: chu kỳ bán rã (cần tìm)
• t: thời gian
• m, m_0: khối lượng còn lại và khối lượng ban đầu

Thay số:

0{,}0625 = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{15{,}2 / T} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^{15{,}2 / T} = 0{,}0625

Ta nhận ra:

0{,}0625 = \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \Rightarrow \frac{15{,}2}{T} = 4 \Rightarrow T = \frac{15{,}2}{4} = 3{,}8 \, \text{ngày}

Biết khối lượng của ^{238}U là 46,97 mg và khối lượng của ^{206}Pb là 23,15 mg.

• Khối lượng mol của ^{238}U là 238 g/mol.
• Khối lượng mol của ^{206}Pb là 206 g/mol.

Số mol của ^{238}U và ^{206}Pb lần lượt là:

N_{\text{U}} = \frac{46,97 \, \text{mg}}{238 \, \text{g/mol}} \times 10^{-3} = 0,000197 \, \text{mol}

N_{\text{Pb}} = \frac{23,15 \, \text{mg}}{206 \, \text{g/mol}} \times 10^{-3} = 0,000112 \, \text{mol}

Chu kỳ bán rã của ^{238}U là T_{\frac{1}{2}} = 4,47 \times 10^9 năm. Từ đó, hằng số phân rã \lambda được tính bằng:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln 2}{4,47 \times 10^9} \, \text{năm}^{-1}

Sau khi tính \lambda, ta sẽ thay vào công thức trên để giải tuổi t. Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian, tôi có thể tính toán chi tiết này bằng phần mềm.

Tổng thể tích máu sẽ là:

V = \frac{\text{Tổng độ phóng xạ còn lại}}{\text{Độ phóng xạ trên 1 cm}^3} = \frac{3.14 \times 10^6}{502} \approx 6250 \, \text{cm}^3

Công thức tính bán kính hạt nhân:

r = r_0 \cdot A^{1/3}

Trong đó:

• r_0 = 1{,}4 \times 10^{-15} \, \text{m}
• A = 226 (số khối)

Tính toán:

r = 1{,}4 \times 10^{-15} \cdot (226)^{1/3}

Tính 226^{1/3} \approx 6{,}1

r \approx 1{,}4 \times 10^{-15} \cdot 6{,}1 = 8{,}54 \times 10^{-15} \, \text{m}