Công thực hiện để nâng vật lên là:

A_thuc = F1 . s

Trong đó s là quãng đường mà vật được nâng lên, bằng 10m.

A_thuc = 1500 N . 10 m

= 15000 J

Công lý thuyết cần thiết để nâng vật lên là:

A_lythuyet = m . g . h

Trong đó m là khối lượng của vật, g là gia tốc trọng trường, h là độ cao mà vật được nâng lên.

A_lythuyet = 200 kg . 10 m/s^2 . 10 m

= 20000 J

Hiệu suất của hệ thống là:

H = (A_thuc / A_lythuyet) . 100%

= (15000 J / 20000 J) . 100%

= 75%

Vậy hiệu suất của hệ thống này là 75%.

Ta có công thức cơ năng của vật là:

W = Wd + Wt

Trong đó Wd là động năng và Wt là thế năng.

Ta được:

W = 37,5 J

Wd = 2/3 Wt

Thế năng của vật ở độ cao 3m là:

Wt = mgh

= m . 10 . 3

= 30m

Thay vào công thức trên, ta có:

Wd = 2/3 (30m)

= 20m

Cơ năng của vật là:

W = Wd + Wt

= 20m + 30m

= 50m

Ta được:

50m = 37,5 J

m = 37,5 / 50

= 0,75 kg

Vậy khối lượng của vật là 0,75 kg.

Động năng của vật là:

Wd = 20m

= 20 . 0,75

= 15 J

Vận tốc của vật là:

v = √(2Wd / m)

= √(2 . 15 / 0,75)

= √(40)

= 6,32 m/s

Vậy vận tốc của vật ở độ cao đó là 6,32 m/s.

Lực kéo hợp với phương ngang một góc 60o, nên thành phần của lực kéo theo phương ngang là:

Fngang = F . cos(60o)

= 200 N . 0,5

= 100 N

Công của lực kéo là:

A = Fngang . s

= 100 N . 10 m

= 1000 J

Công suất của người đó là:

P = A / t

= 1000 J / 5 s

= 200 W

Vậy công của lực kéo là 1000 J và công suất của người đó là 200 W.

Để tìm độ rộng viền khung ảnh tối đa, ta cần tìm giá trị lớn nhất của x sao cho diện tích của cả khung ảnh không vượt quá 513 cm2.

Diện tích của cả khung ảnh là:

A = (17 + 2x)(25 + 2x)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của x sao cho:

(17 + 2x)(25 + 2x) ≤ 513

Mở rộng và sắp xếp lại, ta có:

4x^2 + 84x + 425 - 513 ≤ 0

4x^2 + 84x - 88 ≤ 0

x^2 + 21x - 22 ≤ 0

(x + 22)(x - 1) ≤ 0

Vậy x ≤ 1 hoặc x ≥ -22.

Tuy nhiên, vì x là độ rộng viền khung ảnh, nên x phải là số dương. Do đó, x ≤ 1.

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa là 1 cm.

a) Để tính cosα, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng Δ và Δ1.

Vectơ pháp tuyến của Δ: (3, 4)

Vectơ pháp tuyến của Δ1: (5, -12)

cosα = (Vectơ pháp tuyến của Δ) . (Vectơ pháp tuyến của Δ1) / (||Vectơ pháp tuyến của Δ|| . ||Vectơ pháp tuyến của Δ1||)

= (3 . 5 + 4 . (-12)) / (√(3^2 + 4^2) . √(5^2 + (-12)^2))

= (15 - 48) / (√(9 + 16) . √(25 + 144))

= -33 / (√25 . √169)

= -33 / (5 . 13)

= -33 / 65

b) Để viết phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc với (C), ta cần tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ tiếp tuyến của (C) tại điểm tiếp xúc.

Ta có, đường tròn (C) có tâm I(3, -2) và bán kính R = 6.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ từ I đến tâm của (C), tức là vectơ (0, 0) - (3, -2) = (-3, 2).

Phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc với (C) là:

-3(x - 3) + 2(y + 2) = 0

-3x + 9 + 2y + 4 = 0

-3x + 2y + 13 = 0

a) Để tam thức bậc hai f(x) = x^2 + (m - 1)x + m + 5 dương với mọi x ∈ R, ta cần có:

Δ = (m - 1)^2 - 4(m + 5) < 0

(m - 1)^2 - 4m - 20 < 0

m^2 - 2m + 1 - 4m - 20 < 0

m^2 - 6m - 19 < 0

(m - (3 + √(10)))(m - (3 - √(10))) < 0

Vậy m ∈ (3 - √(10), 3 + √(10)).

b) Để giải phương trình 2x^2 - 8x + 4 = x - 2, ta cần sắp xếp lại phương trình như sau:

2x^2 - 9x + 6 = 0

x^2 - (9/2)x + 3 = 0

Δ = (-9/2)^2 - 4(3) = 81/4 - 12 = 33/4 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

x = (9/2 ± √(33/4)) / 2

x = (9 ± √(33)) / 4

Vậy hai nghiệm của phương trình là x = (9 + √(33)) / 4 và x = (9 - √(33)) / 4.