Gọi \(O = A C \cap B D\)

\(\Rightarrow S O ⊥ \left(\right. A B C D \left.\right)\). Gọi \(H\) trung điểm của \(O D\).

Xét \(\Delta S O D\), \(M H\) là đường trung bình

\(\Rightarrow M H / / S O\) \(\Rightarrow M H ⊥ \left(\right. A B C D \left.\right)\).

Hình chiếu của đường thẳng \(B M\) trên mặt phẳng \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là \(B H\).

\(\Rightarrow \hat{\left(\right. B M ; \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right)} = \hat{\left(\right. B M ; B H \left.\right)} = \hat{M B H}\)

Xét tam giác vuông \(A B D\) có \(B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}}\)\(= \sqrt{\left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2}}\)\(= 2 \sqrt{2} a\).

\(\Rightarrow B H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 \sqrt{2} a}{2}\) và \(O D = \frac{1}{2} B D = \sqrt{2} a\).Xét tam giác vuông \(S O D\) có:

\(S O = \sqrt{S D^{2} - O D^{2}}\)

\(= \sqrt{\left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \sqrt{2} a \left.\right)\right)^{2}}\)

\(= \sqrt{2} a\).

\(\Rightarrow M H = \frac{1}{2} S O = \frac{\sqrt{2} a}{2}\).

Ta có: \(tan ⁡ \hat{M B H} = \frac{M H}{B H}\)

\(= \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2} a}{2}}\)

\(= \frac{1}{3}\).

Gọi A là số tiền tối đa người này có thể vay, Ai là số tiền nợ sau tháng thứ i . (Đơn vị: triệu đồng)

r1 =5%/12 là lãi suất/1 tháng, từ thứ 7 trở đi

Sau 1 tháng, tiền gốc và lãi là A (1+r) , người đó trả 15 triệu nên còn nợ

A1 =A(1+r)-15

Sau tháng thứ 2

A1 =A1(1+r1)-15

=(A(1+r1)-15) (1+r1)-15

=A((1+r1))² -15/r1 [((1+r1))²-1]

Sau tháng thứ 3

A3=A((1+r1))³-15/r1[((1+r1))³-1]

.......

Sau tháng thứ 6

A6=A((1+r1))⁶-15/r1[((1+r1))⁶-1]

Sau tháng thứ 7

A7=A6(1+r2)-15

Sau tháng thứ 8

A8=A6 ((1+r2))²-15/r2[((1+r2))²-1]

........

Sau tháng thứ 240

A240=A6 ((1+r2))²³⁴-15/r2[((1+r2))²³⁴-1]

Vì phải trả hết nợ trong 20 năm nên

A240=0

<=> A6=15[((1+r2))²³⁴-1/((1+r2))²³⁴r2≈1353,819382

=> A= {A6+15/r1[((1+r1))⁶-1]/((1+r1))⁶≈1409,163992

Vậy người này có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa là A/85%≈1675,83999 triệu đồng ≈ 1,65784 tỷ đồng