Khung ảnh gồm hình chữ nhật lớn bao quanh hình 17x25, với viền \(x\) cm mỗi phía → tổng chiều dài, chiều rộng sẽ tăng thêm \(2 x\):

• Chiều dài mới: \(25 + 2 x\)
• Chiều rộng mới: \(17 + 2 x\)

→ Diện tích khung ảnh (S):

\(S = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Theo đề:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Khai triển:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Yêu cầu:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 \leq 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)

Tính nghiệm:

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 23\) \(x = \frac{- 21 \pm 23}{2} \Rightarrow \left{\right. x_{1} = \frac{2}{2} = 1 \\ x_{2} = \frac{- 44}{2} = - 22\)

Vì \(x > 0\), nên ta chỉ lấy \(x \leq 1\)

Bạn Hà cần làm độ rộng viền tối đa là \(\boxed{1}\) cm để diện tích khung ảnh không vượt quá 513 cm².

a

Δ:3x+4y+7=0vaˋΔ1​:5x−12y+7=0

• \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} = \left(\right. 3 , 4 \left.\right)\)
• \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} = \left(\right. 5 , - 12 \left.\right)\)

Góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai vector pháp tuyến. Khi đó:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} \mid}{\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} \parallel \cdot \parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} \parallel}\)

Tính tích vô hướng:

\(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right) = 15 - 48 = - 33 \Rightarrow \mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} \mid = 33\)

Tính độ dài:

• \(\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta} \parallel = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• \(\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{\Delta_{1}} \parallel = \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

\(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}\)

b

• \(18 + 3 b = 30 \Rightarrow b = 4\)
• \(18 + 3 b = - 30 \Rightarrow b = - 16\)

→ Có hai đường thẳng thoả mãn:

1. \(y = \frac{4}{3} x + 4\)
2. \(y = \frac{4}{3} x - 16\)

\(\)

Để một tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\), cần thỏa mãn hai điều kiện:

1. a > 0
2. Δ < 0 (phân biệt thức âm)

Áp dụng vào hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + \left(\right. m + 5 \left.\right)\):

• Hệ số a = 1 > 0 → thoả mãn
• Tính biệt thức Δ:

\(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right) = m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

→ Điều kiện:

\(\Delta < 0 \Rightarrow m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Tìm nghiệm phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 = 0 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vậy điều kiện:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

bChuyển vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 - x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)

Giải phương trình bậc hai:

\(2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)

Tính Δ:

\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33 \Rightarrow x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}\)\(\)

\(\overset{\rightarrow}{0}\) (1)

Chiếu (1) lên hướng \(\overset{\rightarrow}{P}\)  

=> \(P = F_{đ\text{h}} \Leftrightarrow m g = k . \Delta l \Leftrightarrow \Delta l = \frac{m g}{k} = \frac{0 , 5.10}{100} = 0 , 05 \left(\right. m \left.\right)\)

=> Chiều dài lò xo \(l_{1} = l + \Delta l = 40 + 5 = 45\) (cm)

b) \(l_{2} = l + \Delta l = 48 \left(\right. c m \left.\right) \Leftrightarrow \Delta l = 8 \left(\right. c m \left.\right) = 0 , 08 \left(\right. m \left.\right)\)

Khi đó \(m = \frac{k . \Delta l}{g} = \frac{100.0 , 08}{10} = 0 , 8 \left(\right. k g \left.\right)\)

Vậy khối lượng vật cần treo : 0,08 kg

Chọn mốc thế năng tại mặt đất

Theo định luật bảo toàn năng lượng

W = W d + W t = 5 2 W t ⇒ W = 5 2 m g z ⇒ m = 2 W 5 g z = 2.37 , 5 5.10.3 = 0 , 5 ( k g )

Ta có  W d = 3 2 W t ⇒ 1 2 m v 2 = 3 2 m g z ⇒ v = 3. g z ≈ 9 , 49 ( m / s )

Đổi: 21,6 km/h = 6 m/s

m = 2 tấn = 2000kg

Ta có Vt = Vo + at

=> a = (Vt - Vo) / t = (6-0) / 15 = 0,4 m/s^2  

Quãng đường xe đi được là:

S = (Vt^2 - Vo^2) / 2a = (6^2-0^2) / 2.0,4 = 45m

a) Ta có: F = ma = 2000.0,4 = 800 N

A = F.S = 800.45 = 36000 J

P = A / t = 36000 / 15 = 240 W

b) Ta có Fms = 0,005.N = 0,005.2000.10 = 1000 N

ADĐL II Newton: F - Fms = ma

=> F = Fms + ma = 1000 + 2000.0,4 = 1800 N

A = F.S = 1800.45 = 81000 J

P = A / t = 81000 / 15 = 5400 W