+2x)(17+2x)≤513

Khai triển vế trái:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Vậy:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 \leq 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải bất phương trình này.

Tìm nghiệm của phương trình:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)

Tính \(\Delta\):

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529 \Rightarrow x = \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{- 21 \pm 23}{2}\)\(\Rightarrow x_{1} = \frac{2}{2} = 1 , x_{2} = \frac{- 44}{2} = - 22\)

Lấy khoảng thỏa mãn bất phương trình:

\(- 22 \leq x \leq 1 \Rightarrow x \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right. (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{x}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{n} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp}; \hat{\text{a}} \text{m})\)

3. Kết luận:

Độ rộng viền lớn nhất là:

\(\boxed{1 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

Cách làm:

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)

Trong đó:

• \(\Delta\) có vector pháp tuyến: \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} = \left(\right. 3 , 4 \left.\right)\)
• \(\Delta_{1}\) có vector pháp tuyến: \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} = \left(\right. 5 , - 12 \left.\right)\)

Thế vào công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid 3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}}} = \frac{\mid 15 - 48 \mid}{\sqrt{9 + 16} \cdot \sqrt{25 + 144}}\)\(= \frac{\mid - 33 \mid}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{169}} = \frac{33}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}\)

Kết luận:

\(\boxed{cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}}\)

Giải:

Tam thức bậc hai luôn dương với mọi

x

∈

R

x∈R khi:

Hệ số của

x

2

x

2

dương: hệ số là 1 → luôn đúng.

Phương trình vô nghiệm thực, tức

Δ

<

0

Δ<0

(để đồ thị không cắt trục hoành và luôn nằm phía trên trục Ox).

Ta tính biệt thức:

Δ

=

[

(

m

−

1

)

]

2

−

4

⋅

1

⋅

(

m

+

5

)

=

(

m

−

1

)

2

−

4

(

m

+

5

)

Δ=[(m−1)]

2

−4⋅1⋅(m+5)=(m−1)

2

−4(m+5)

=

m

2

−

2

m

+

1

−

4

m

−

20

=

m

2

−

6

m

−

19

=m

2

−2m+1−4m−20=m

2

−6m−19

Yêu cầu:

Δ

<

0

⇒

m

2

−

6

m

−

19

<

0

Δ<0⇒m

2

−6m−19<0

Giải bất phương trình bậc hai:

Tìm nghiệm:

Δ

′

=

(

−

6

)

2

−

4

(

−

19

)

=

36

+

76

=

112

⇒

m

=

6

±

112

2

=

6

±

4

7

2

=

3

±

2

7

Δ

′

=(−6)

2

−4(−19)=36+76=112⇒m=

2

6±

112

​ G

​ i

=

2

6±4

7

​ ả

​ i

=3±2

7

​ :

Vậy:

m

∈

(

3

−

2

7

,

3

+

2

7

)

m∈(3−2

7

​

,3+2

7

​

)

Tam thức bậc hai luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi:

1. Hệ số của \(x^{2}\) dương: hệ số là 1 → luôn đúng.
2. Phương trình vô nghiệm thực, tức \(\Delta < 0\)
   (để đồ thị không cắt trục hoành và luôn nằm phía trên trục Ox).

Ta tính biệt thức:

\(\Delta = \left[\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right) = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

Yêu cầu:

\(\Delta < 0 \Rightarrow m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình bậc hai:

• Tìm nghiệm:

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. - 19 \left.\right) = 36 + 76 = 112 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vậy:

\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

\(\Delta = \left[\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right) = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

Yêu cầu:

\(\Delta < 0 \Rightarrow m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình bậc hai:

• Tìm nghiệm:

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. - 19 \left.\right) = 36 + 76 = 112 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vậy:

\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

Giải:

Tam thức bậc hai luôn dương với mọi

x

∈

R

x∈R khi:

Hệ số của

x

2

x

2

dương: hệ số là 1 → luôn đúng.

Phương trình vô nghiệm thực, tức

Δ

<

0

Δ<0

(để đồ thị không cắt trục hoành và luôn nằm phía trên trục Ox).

Ta tính biệt thức:

Δ

=

[

(

m

−

1

)

]

2

−

4

⋅

1

⋅

(

m

+

5

)

=

(

m

−

1

)

2

−

4

(

m

+

5

)

Δ=[(m−1)]

2

−4⋅1⋅(m+5)=(m−1)

2

−4(m+5)

=

m

2

−

2

m

+

1

−

4

m

−

20

=

m

2

−

6

m

−

19

=m

2

−2m+1−4m−20=m

2

−6m−19

Yêu cầu:

Δ

<

0

⇒

m

2

−

6

m

−

19

<

0

Δ<0⇒m

2

−6m−19<0

Giải bất phương trình bậc hai:

Tìm nghiệm:

Δ

′

=

(

−

6

)

2

−

4

(

−

19

)

=

36

+

76

=

112

⇒

m

=

6

±

112

2

=

6

±

4

7

2

=

3

±

2

7

Δ

′

=(−6)

2

−4(−19)=36+76=112⇒m=

2

6±

112

​ G

​ i

=

2

6±4

7

​ ả

​ i

=3±2

7

​ :

Vậy:

m

∈

(

3

−

2

7

,

3

+

2

7

)

m∈(3−2

7

​

,3+2

7

​

)

Tam thức bậc hai luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi:

1. Hệ số của \(x^{2}\) dương: hệ số là 1 → luôn đúng.
2. Phương trình vô nghiệm thực, tức \(\Delta < 0\)
   (để đồ thị không cắt trục hoành và luôn nằm phía trên trục Ox).

Ta tính biệt thức:

\(\Delta = \left[\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right) = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

Yêu cầu:

\(\Delta < 0 \Rightarrow m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình bậc hai:

• Tìm nghiệm:

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. - 19 \left.\right) = 36 + 76 = 112 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vậy:

\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

\(\Delta = \left[\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right) = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

Yêu cầu:

\(\Delta < 0 \Rightarrow m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình bậc hai:

• Tìm nghiệm:

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. - 19 \left.\right) = 36 + 76 = 112 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vậy:

\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)