Cho hai biểu thức: A = \frac{x}{\sqrt{x} + 1} B = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x+5}{x-1} với x \ge 0, x \ne 1. a) Tính giá trị của A tại x = \frac{1}{4} Thay x = \frac{1}{4} vào biểu thức A: A = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4}} + 1} Vì \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}, ta có: A = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} A = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} Vậy, giá trị của A tại x = \frac{1}{4} là \frac{1}{6}. b) Chứng minh rằng B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} Điều kiện: x \ge 0, x \ne 1. Ta biến đổi biểu thức B: B = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x+5}{x-1} B = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{x+5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} (Lưu ý: 1-\sqrt{x} = -(\sqrt{x}-1) và x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)) Quy đồng mẫu số chung là (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1): B = \frac{3(\sqrt{x} - 1) - 1(\sqrt{x} + 1) + (x+5)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} B = \frac{3\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 + x + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức: x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2. B = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} Rút gọn (\sqrt{x} + 1) ở tử và mẫu (do x \ge 0, \sqrt{x}+1 > 0): B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} Đây chính là điều phải chứng minh. c) Đặt P = A \cdot B. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn P \le 4. Ta có: P = A \cdot B = \frac{x}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} Rút gọn (\sqrt{x} + 1): P = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} Tìm x để P \le 4: \frac{x}{\sqrt{x} - 1} \le 4 \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - 4 \le 0 \frac{x - 4(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} \le 0 \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \le 0 Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức: x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} - 2)^2. \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x} - 1} \le 0 Vì (\sqrt{x} - 2)^2 \ge 0 với mọi x \ge 0, để bất phương trình \le 0 thì xảy ra hai trường hợp: * Trường hợp 1: Tử số bằng 0. (\sqrt{x} - 2)^2 = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4. Giá trị x=4 thỏa mãn điều kiện x \ge 0, x \ne 1. Khi x=4, P = \frac{4}{\sqrt{4}-1} = \frac{4}{1} = 4, thỏa mãn P \le 4. * Trường hợp 2: Tử số lớn hơn 0 và mẫu số nhỏ hơn 0. (\sqrt{x} - 2)^2 > 0 \implies \sqrt{x} - 2 \ne 0 \implies x \ne 4. \sqrt{x} - 1 < 0 \implies \sqrt{x} < 1 \implies x < 1. Kết hợp với điều kiện ban đầu x \ge 0, ta có 0 \le x < 1. Kết hợp cả hai trường hợp, các giá trị của x thỏa mãn P \le 4 là x=4 hoặc 0 \le x < 1. Vậy, các giá trị của x cần tìm là x=4 hoặc 0 \le x < 1.

2/6

25%