x=a+b+ca2+b2+c2​+2(với a+b+c=0

a) Chứng minh \(\triangle A B E sim \triangle A C F\). Từ đó suy ra \(A B \cdot A F = A C \cdot A E\)

Chứng minh đồng dạng:

Xét hai tam giác \(\triangle A B E\) và \(\triangle A C F\):

• \(\angle A B E = 90^{\circ}\) vì \(B E\) là đường cao ⇒ \(\angle A B E\) là góc vuông.
• \(\angle A C F = 90^{\circ}\) vì \(C F\) là đường cao ⇒ \(\angle A C F\) là góc vuông.
• Góc \(\angle B A E = \angle C A F\) vì chúng là các góc chung của tam giác \(A B C\).

⇒ Tam giác \(\triangle A B E sim \triangle A C F\) (g.g)

b) Chứng minh \(\angle A F E = \angle A C B\)

Ta dùng tính chất tam giác vuông và đồng dạng.

Từ câu a, ta có \(\triangle A B E sim \triangle A C F\). Khi đó:

• \(\angle B A E = \angle C A F\)
• \(\angle A B E = \angle A C F = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(A F H E\): các điểm \(E , F\) là chân đường cao từ \(B , C\), \(H\) là giao điểm các đường cao ⇒ \(A H\) là đường cao từ \(A\).

Xét tam giác \(\triangle A F E\):

• \(\angle A F E\) là góc ngoài của tam giác \(\triangle C F H\), mà \(\angle C F H = \angle A C B\) (do H là trực tâm).

⇒ \(\angle A F E = \angle A C B (đ\text{pcm})\)

c) Gọi \(E F\) cắt \(A D\) tại \(I\), cắt tia \(C B\) tại \(K\). Chứng minh: \(\frac{K F}{K E} = \frac{I F}{I E}\)

Cách làm: Sử dụng đồng dạng hoặc định lý Menelaus trong tam giác.

Xét hai tam giác \(\triangle I E F\) và \(\triangle K E F\):

• \(E F\) là đường chung.
• \(I\) thuộc đường cao \(A D\), \(K\) thuộc đường kéo dài của cạnh \(C B\).

Ta chứng minh 2 tam giác \(\triangle I E F\) và \(\triangle K E F\) đồng dạng bằng góc:

• \(\angle I F E = \angle K F E\) (chung)
• \(\angle I E F = \angle K E F\) (chung)

⇒ \(\triangle I F E sim \triangle K F E\) (g.g)

⇒ \(\frac{I F}{I E} = \frac{K F}{K E} (đ\text{pcm})\):

\(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow A B \cdot A F = A C \cdot A E (đ\text{pcm})\)

a) Với \(m = - 1\), hàm số:

\(y = 2 m x + 1 = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) x + 1 = - 2 x + 1\)

b) Đường thẳng \(y = a x + b\) đi qua \(A \left(\right. 1 ; - 8 \left.\right)\) và song song với \(y = - 3 x + 9\) ⇒

• Hệ số góc \(a = - 3\)

Thay điểm \(A \left(\right. 1 ; - 8 \left.\right)\) vào:

\(- 8 = - 3 \cdot 1 + b \Rightarrow - 8 = - 3 + b \Rightarrow b = - 5\)

• Quãng đường: \(x\) km
• Về quê: vận tốc 30 km/h → thời gian: \(\frac{x}{30}\)
• Lên thành phố: vận tốc 25 km/h → thời gian: \(\frac{x}{25}\)
• Chênh lệch thời gian: \(\frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3}\) (giờ)
• 25x​−30x​=31​⇒150x​=31​⇒x=50
• Quãng đường từ thành phố về quê là 50 km.

a3x-5=4

3x=5+4

3x=9

x=9/3

x=3

b 2x/3+3x-1/6=x/2

2*2x/6+3x-1/6=3x/6

4x+3x-1=3x

4x+3x-3x=1

4x=1

x=1/4