ABCD là hình thang suy ra 

A

B

AB // 

C

D

CD.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: OA/OC=OB/OD

Suy ra OA.OD=OB.OC (đpcm)

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có 

A

G

A

D

=

2

3

 hay 

A

G

=

2

3

A

D

.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: 

A

G

A

D

=

B

M

B

D

=

2

3

.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên 

B

M

B

C

=

B

M

2

B

D

=

2

2

.

3

=

1

3

.

Do đó 

B

M

=

1

3

B

C

 (đpcm).

Trong tam giác ACB, ta có PQ // AB, suy ra PQ // CD (theo định lí Thales).

2. Trong tam giác BDC, ta có NQ // CD, suy ra NQ // AB (theo định lí Thales).

3. Từ (1) và (2), ta có MN // AB và PQ // AB, suy ra MN = PQ (theo hệ quả của định lí Thales).

Vậy, MN = PQ.

Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{x}{x+h}=\frac{a}{a^{\prime }}\Rightarrow a^{\prime }x=a(x+h)\Rightarrow a^{\prime }x-ax=ah$

$\Rightarrow x\left(a^{\prime }-a\right)=ah\Rightarrow x=\frac{ah}{a^{\prime }-a}$ (đpcm).

Ta cả ED//AC suy ra AE/AB=CD/CB( định lí thales trong tam giác)
         FD//AB suy ra AF/AC=BD/BC
   Suy ra AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=1

Xét tứ giác AIKD, ta có:

AI = KD (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

AD // IK (vì AD // BC và IK là đường trung bình của tam giác ABC)

góc A= góc D = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy AIKD là hình chữ nhật.

Tương tự, ta chứng minh được BIKC là hình chữ nhật.

Xét tam giác DIC, ta có:

DI = IC (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

góc D= góc C = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy tam giác DIC là tam giác vuông cân.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm hình vuông BIKC và Al = KD BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm

hình vuông BIKC và AI = KD , BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Ta có:

góc ISK = góc IKR = 90° (vì ISKR là hình chữ nhật)

góc ISK+ góc IKR = 180°

Vậy ISKR là hình vuông.

a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K

nên MND=90°và MKD=90°

Tứ giác DKMN có KDN=90°;MKD=90°;MND=90°

nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên MD=1/2EF=ME.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra ND=NE=DE/2.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của .

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CP-DA-DQ CP=DA

Hay MB = NC = PD = QA

b)Xét góc AMQ và góc BNM có:

góc MAQ = góc NBM = 90°

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó goc AMQ = góc BNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ

Khi dó MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

c)Do (chứng minh trên) nên góc AMQ = góc BNM (hai góc tương ứng) góc AMQ = góc BNM

Mà BNM + BMN = 90° (do góc BMN vuông tại B)

Suy ra góc AMQ + BMN = 90°

Lại có góc AMQ + góc QMN + góc BMN = 180°

Suy ra Q MN =180°( góc AMQ + góc BMN )= 180° - 90° = 90°

 Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.

a) Tứ giác AMC K có hai đường chéo

AC, MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

AABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = MC = MB.

Vậy hình bình hành AMCK có AM = MC

nên là hình thoi.

b) Vì AMCK là hình thoi nên AK II BM và

AK = MC = ВМ.

Tứ giác AK MB có AK I1 BM, AK = BM nên là hình bình hành.

c) Để AMC K là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM LMC.

Khi đó AABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.

Vậy AABC vuông cân tại A thì AMC K là hình vuông.

a)Chứng minh tam giác BH E vuông cân:

Ta có: BHE = 90° (vì HE vuông góc với BC)

ABE = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

BHE + ABE + EHB = 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: EHB = 45°

Do đó: BHE = EHB = 45°

Vậy tam giác BH E vuông cân tại H.

b)Chứng minh tứ giác E FGH là hình vuông:

Ta có: EHG = FGH = 90° (vì HE và GF vuông góc với BC)

HEF = GFH = 90° (vì EF vuông góc với

AB và AC)

Do đó: Tứ giác EFGH có 4 góc vuông.

Mặt khác: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: EH = GF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông bằng nhau)

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Mà EH = GF nên EFGH là hình vuông.