kẻ tia \(C x\) là tia phân giác của \(\hat{A C D}\) và \(D y\) là tia phân giác của \(\hat{B D C}\), hai tia \(C x\) và \(D y\) cắt nhau tại \(E\).

\(\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}} = 3 0^{\circ}\)

Kẻ tia \(E z / / m \&\text{nbsp}; / / n\), tính \(\hat{E_{1}} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{E_{2}} = 3 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{C E D} = 9 0^{\circ}\).

+ Hai cặp góc so le trong: góc B₁ và góc A₃; góc A₄ và góc B₂ .

+ Bốn cặp góc đồng vị: góc B₁ và góc A₁; góc B₂ và góc A₂; góc B₃ và góc A₃; góc B₄ và góc A₄ .

Ta có \(\hat{b C y} = \hat{E C B} = 5 5^{\circ}\).

Vì \(a\) // \(b\) nên \(\hat{E C B} = \hat{F E D} = 5 5^{\circ}\).

Vì \(D n\) là tia phân giác của \(\hat{F D C}\) nên \(\hat{C D n} = \frac{1}{2} . \hat{F D C} = 5 5^{\circ}\).

Nên \(\hat{F E D} = \hat{C D n}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(D n\) // \(a\).

a có \(\hat{x B A} = \hat{B A D} = 5 0^{\circ}\).

Hai góc này ở vị trí so le trong nên \(B x\) // \(A D\) (1).

Ta có \(\hat{D A C} = \hat{A C y} = 3 0^{\circ}\).

Hai góc này ở vị trí so le trong nên \(C y\) // \(A D\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(B x\) // \(C y\) (cùng song song với \(A D\)).

a) \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C \bot A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C \bot B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D \bot B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D \bot B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D \bot A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C \bot B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\).

1) \(\hat{B A E} = \hat{E A C}\) (giả thiết). (1)

Vì \(A B\) // \(E F\) nên \(\hat{B A E} = \hat{A E F}\) (hai góc so le trong). (2)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{E A C} = \hat{I F C}\) (hai góc đồng vị). (3)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{A E F} = \hat{E F I}\) (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{I F C} = \hat{E F I}\).

2) Từ chứng minh trên, ta có: \(\hat{E F I} = \hat{I F C}\) mà \(F I\) là tia nằm giữa hai tia \(F E\) và \(F C\).

Vậy \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C}\).

O1​​=O2​​ (\(O E\) là tia phân giác của \(\hat{A O C} \left.\right) .\) (1)

\(\hat{O_{3}} = \hat{O_{4}}\) (\(O F\) là tia phân giác của \(\hat{D O B} \left.\right)\). (2)

Mà \(\hat{A O D} = \hat{C O B}\) (hai góc đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3), ta có: \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B}\) (4)

Mà \(\left(\right. \hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} \left.\right) + \left(\right. \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B} \left.\right) = 36 0^{\circ}\). (5)

Do đó \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = 18 0^{\circ}\).

Từ \(\left(\right. 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 5 \left.\right) \Rightarrow \hat{E O F} = 18 0^{\circ}\).

Vậy \(E , O , F\) nằm trên một đường thẳng, hay tia \(O E\) và tia \(O F\) là hai tia đối nhau.

a) \(x y\) // \(x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\) (hai góc so le trong). (1)

\(\left(A A\right)^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên: \(\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{1}{2} \hat{x A B}\) (2)

\(\left(B B\right)^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{\left(A B y\right)^{'}}\) nên: \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}}\).

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên \(\left(A A\right)^{'} / / \left(B B\right)^{'}\)

b) \(x y\) // \(x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{\left(A A\right)^{'} B}\) (hai góc so le trong).

\(\left(A A\right)^{'} / / \left(B B\right)^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{\left(A B\right)^{'} B}\) (hai góc đồng vị).

Vậy \(\hat{\left(A A\right)^{'} B} = \hat{\left(A B\right)^{'} B}\).

Có \(\hat{B O C}\) và \(\hat{B O D}\) là hai góc kề bù nên \(\hat{B O C} + \hat{B O D} = 18 0^{\circ}\).

Vì \(O M\) là tia phân giác của \(\hat{B O C}\) nên \(\hat{C O M} = \hat{M O B} = \frac{1}{2} \hat{B O C}\);

\(O N\) là tia phân giác của góc \(\hat{B O D}\) nên \(\hat{D O N} = \hat{N O B} = \frac{1}{2} \hat{B O D} .\)

Mà tia \(O B\) nằm giữa tia \(O M\) và \(O N\).

Suy ra \(\hat{M O N} = \hat{M O B} + \hat{N O B} = \frac{1}{2} \left(\right. \hat{B O C} + \hat{B O D} \left.\right) = \frac{1}{2} . 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{M O P} = 9 0^{\circ}\) (tia \(O P\) vuông góc \(O M\) ).

Suy ra \(\hat{M O N} + \hat{M O P} = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}\).

Mà hai tia \(O P\) và \(O N\) nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ \(O M\) nên hai tia \(O P\) và \(O N\) là hai tia đối nhau.

Kết hợp \(O C\) và \(O D\) là hai tia đối nên suy ra \(\hat{C O P}\) và \(\hat{D O N}\) là hai góc đối đỉnh.

Vi \(\hat{x O N}\) và \(\hat{x^{'} O N}\) kề bù nên \(\hat{x O N} + \hat{x^{'} O N} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{x O N} = 9 0^{\circ}\) nên \(\hat{x^{'} O N} = 9 0^{\circ}\).

Vì tia \(O P\) là tia phân giác của góc \(\hat{x^{'} O N}\) nên \(\hat{x^{'} O P} = \hat{P O N} = \frac{1}{2} \hat{x^{'} O N} = 4 5^{\circ}\).

Mặt khác hai tia \(O P\) và \(O M\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(x x^{'}\) nên \(\hat{M O P} = \hat{P O N} + \hat{x O N} + \hat{x O M} = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra hai tia \(O P\) và \(O M\) là hai tia đối nhau. Mà \(O x\) và \(O x^{'}\) là hai tia đối nhau.

Suy ra \(\hat{x O M}\) và \(\hat{x^{'} O P}\) là hai góc đối đỉnh.