Để chứng minh rằng một đa giác lồi có n cạnh, khi được chia thành các tam giác bằng nhau bằng cách vẽ n-3 đường chéo đôi một không cắt nhau, thì n phải chia hết cho 3, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp (induction) để giải quyết bài toán này.

Đầu tiên, chúng ta xét trường hợp đơn giản nhất khi n = 3, tức là đa giác là tam giác. Trong trường hợp này, không cần vẽ đường chéo nào cả, vì tam giác đã được chia thành các tam giác bằng nhau. Và n = 3 chia hết cho 3.

Giả sử đa giác có n cạnh thỏa mãn điều kiện trong đề bài. Ta sẽ chứng minh rằng khi thêm một cạnh mới vào đa giác, tức là n+1 cạnh, thì n+1 cũng phải chia hết cho 3.

Giả sử đa giác có n cạnh và đã được chia thành các tam giác bằng nhau bằng cách vẽ n-3 đường chéo đôi một không cắt nhau. Khi thêm một cạnh mới vào đa giác, chúng ta sẽ thêm một tam giác mới và tạo ra một đường chéo mới. Khi đó, số tam giác trong đa giác tăng thêm một đơn vị và số đường chéo tăng thêm một đơn vị.

Điều quan trọng là ta phải đảm bảo rằng khi thêm một cạnh mới vào, chúng ta vẫn có thể chia đa giác thành các tam giác bằng nhau bằng cách vẽ n-2 đường chéo đôi một không cắt nhau. Điều này có nghĩa là ta cần thêm một đường chéo mới để duy trì tính chất của đa giác ban đầu.

Với việc thêm một cạnh mới, số đường chéo tăng lên một đơn vị, nên ta cần có (n-2)+1 = n-1 đường chéo. Điều này đồng nghĩa với việc n-1 phải chia hết cho 3.

Dựa trên quy nạp, chúng ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, nếu đa giác có n cạnh và được chia thành các tam giác bằng nhau bằng cách vẽ n-3 đường chéo đôi một không cắt nhau, thì n phải chia hết cho 3.

Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.

Danh từ riêng:

Cao Bá Quát: Đây là một tên riêng, chỉ người viết lá đơn.

Bà cụ: Đây cũng là một tên riêng, chỉ người bị oan.

Để tìm thời gian mà xe máy đuổi kịp xe đạp và vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km, ta có thể sử dụng công thức vận tốc, thời gian và khoảng cách.

Gọi t là thời gian (tính bằng giờ) mà xe máy đi từ C đến điểm gặp nhau. Khoảng cách từ A đến điểm gặp nhau là 20 km (vì C cách A 20 km).

Theo công thức vận tốc = khoảng cách / thời gian, ta có các phương trình sau:

Đối với xe đạp: vận tốc xe đạp = 15 km/h thời gian xe đạp đi từ A đến điểm gặp nhau = 2 giờ

Đối với xe máy: vận tốc xe máy = 40 km/h thời gian xe máy đi từ C đến điểm gặp nhau = t giờ

Từ đó, ta có hệ phương trình sau: 15 km/h * 2 giờ = 40 km/h * t giờ

Vậy sau 0.75 giờ (hay 45 phút), xe máy đuổi kịp xe đạp. Vị trí gặp nhau cách A là khoảng cách mà xe máy đã đi được trong thời gian đó. Khoảng cách = vận tốc * thời gian = 40 km/h * 0.75 giờ = 30 km

Vậy vị trí gặp nhau cách A 30 km.

Để xác định xem hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau hay không, ta cần kiểm tra tính nguyên tố của hai số này.

Xét số đầu tiên là 2n + 3. Để nó là một số nguyên tố, ta phải kiểm tra xem có số nguyên dương nào làm cho 2n + 3 không chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào khác 1 và chính nó.

Tương tự, xét số thứ hai là 3n + 4. Để nó là một số nguyên tố, ta phải kiểm tra xem có số nguyên dương nào làm cho 3n + 4 không chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào khác 1 và chính nó.

Để đúng yêu cầu, ta cần tìm cạnh mỗi viên gạch sao cho không có viên gạch nào bị cắt xén và độ dài cạnh mỗi viên gạch lớn nhất có thể.

Diện tích mặt sân là tổng diện tích các viên gạch. Diện tích mỗi viên gạch hoa hình vuông là bình phương độ dài cạnh.

Diện tích mặt sân = diện tích mỗi viên gạch × số viên gạch

Diện tích mặt sân = 450 cm × 60 cm

Diện tích mỗi viên gạch = cạnh mỗi viên gạch × cạnh mỗi viên gạch

Ta cần tìm cạnh mỗi viên gạch. Vì không có viên gạch nào bị cắt xén, cạnh mỗi viên gạch phải là ước của cả chiều dài và chiều rộng của mặt sân.

450 cm và 60 cm có ước chung là 30 cm. Vì vậy, cạnh mỗi viên gạch phải có độ dài là 30 cm.