"Nguyên tố" chứ không phải là "nguyên tử" nhé.

 Ta phân tích \(180=2^2.3^2.5\)

 Ta tính số ước (kể cả ước nguyên tố) của 180

 Các ước của 180 có dạng \(2^x.3^y.5^z\) với \(x,y,z\) là các số tự nhiên mà \(x,y\le2;z\le1\)

 Có 3 cách chọn số mũ của số 2, 3 cách chọn số mũ của số 3 và 2 cách chọn số mũ của số 5 nên số 180 có tất cả \(3.3.2=18\) ước.

 Mặt khác, 180 có 3 ước nguyên tố là 2, 3 và 5 nên số ước không nguyên tố của 180 là \(18-3=15\). 

a) Gọi J là tâm đường tròn (AP)

 Xét đường tròn (J) có đường kính AP, \(L\in\left(J\right)\) nên \(\widehat{ALP}=90^o\) hay \(AH\perp LP\) tại L.

 Lại có \(AH\perp BC\) nên LP // BC.

 \(\Rightarrow\widehat{DPL}=\widehat{DEB}\) 

 Mặt khác, \(\widehat{DEB}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BD}}{2}\) \(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CD}}{2}\) \(=\dfrac{sđ\widehat{AD}}{2}\) \(=\widehat{AGD}\)

 Tứ giác AGLP nội tiếp nên \(\widehat{DPL}=\widehat{AGL}\)

 Từ đó suy ra \(\widehat{AGD}=\widehat{AGL}\)

 Hơn nữa, L, D nằm cùng phia đối với đường thẳng GA nên suy ra G, L, D thẳng hàng (đpcm).

a) Do AE tiếp xúc (I) tại E nên \(\widehat{AEI}=90^o\). Đồng thời dễ dàng chứng minh \(AI\perp EF\) tại J.

 Tam giác AEI vuông tại E có đường cao EJ nên \(IJ.IA=IE^2=ID^2=r^2\)

 \(\Rightarrow\dfrac{IJ}{ID}=\dfrac{ID}{IA}\). Từ đó dễ có đpcm.

b) Dễ dàng chứng minh tứ giác IDSJ nội tiếp (do có \(\widehat{IJS}=\widehat{IDS}=90^o\)). Do đó \(\widehat{TIJ}=\widehat{TSD}\), dẫn đến \(\Delta TIJ~\Delta TSD\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{TI}{TS}=\dfrac{TJ}{TD}\) \(\Rightarrow\) đpcm

  Gọi P là giao điểm của AD và IS. Khi đó \(\widehat{PID}=\widehat{SID}=\widehat{SJD}\) và \(\widehat{PDI}=\widehat{ADI}=\widehat{IJD}\) (do đã có \(\Delta IJD~\Delta IDA\) ở câu a)) 

 Do đó \(\widehat{PID}+\widehat{PDI}=\widehat{SJD}+\widehat{IJD}=\widehat{SJI}=90^o\)

 \(\Rightarrow\Delta IPD\) vuông tại P, dẫn tới đpcm. 

c) Gọi Q là giao điểm của AD và EF. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DN lần lượt tại X, Y.

 Trước hết, ta chứng minh \(\dfrac{EQ}{ES}=\dfrac{FQ}{FS}\) (*)

 Ta dễ dàng chứng minh AD, BE, CF đồng quy do định lý Ceva đảo trong tam giác ABC.

 \(\Rightarrow\dfrac{QF}{QE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\) (Ceva thuận)

 Mặt khác, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AEF với cát tuyến SBC, ta có: \(\dfrac{SF}{SE}.\dfrac{BA}{BF}.\dfrac{CE}{CA}=1\)

 Từ đó suy ra \(\dfrac{QF}{QE}=\dfrac{SF}{SE}\Rightarrow\dfrac{EQ}{ES}=\dfrac{FQ}{FS}\) . Vậy (*) được chứng minh.

 Áp dụng định lý Thales \(\Rightarrow\dfrac{YQ}{SD}=\dfrac{FQ}{FS};\dfrac{XQ}{SD}=\dfrac{EQ}{ES}\)

 Kết hợp với (*), ta có ngay \(YQ=XQ\), từ đó dễ dàng suy ra M là trung điểm NE dựa vào bổ đề hình thang.

a) Từ đồ thị, ta thấy \(A\left(0;4\right),B\left(3;0\right),C\left(0;-4\right),D\left(-3;0\right)\)

b) Ta thấy O đồng thời là trung điểm của AC và II' nên AICI' là hình bình hành \(\Rightarrow\) AI' // CI hay AI' // BC (do B, I, C thẳng hàng)

 Tương tự, ta chứng minh được DI' // BC. Do đó A, I', D thẳng hàng theo tiên đề Euclide.

 Với mỗi điểm nằm ngoài đường thẳng nối 4 điểm thẳng hàng kia (gọi là A, B, C, D) thì ta nối thêm được 4 đường thẳng phân biệt giữa điểm đó và 4 điểm A, B, C, D.

 Do có 6 điểm như vậy nên ta có thể kẻ tối đa \(6.4+1=25\) đường thẳng.

 TH1: Nếu con gà chạy sang chuồng 2 là một con gà mái thì lúc này chuồng 2 có 7 con gà trống và 4 con gà mái \(\Rightarrow\) P(gà trống) \(=\dfrac{7}{11}\)

 TH2: Nếu con gà chạy sang chuồng 2 là một con gà trống thì lúc này chuồng 2 có 8 con gà trống và 3 con gà mái \(\Rightarrow\) P(gà trống) \(=\dfrac{8}{11}\)

 Bởi chuồng 1 có số lượng gà trống và gà mái bằng nhau nên xác suất để 1 con gà trống hay 1 con gà mái chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2 là như nhau.

 \(\Rightarrow\) P(gà trống) \(=\dfrac{\dfrac{7}{11}+\dfrac{8}{11}}{2}=\dfrac{15}{22}\)

2) Bạn bổ sung thêm đề bài nhé.

Thực hiện các phép chia đa thức, thu được:

\(f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left[x^2+\left(b-3\right)x+\left(c-3b+9\right)\right]+d-3c+9b-27\)

\(f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left[x^2+\left(b+4\right)x+c+4b+16\right]+d+4c+16b+64\)

\(f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-4\right)\left(x+b+1\right)+\left(c+b+13\right)x+d+12b+12c\)

Theo đề bài, ta có \(d-3c+9b-27=1\)      (1)

\(d+4c+16b+64=8\)       (2)

\(b+1=-3\) \(\Leftrightarrow b=-4\)

và \(\left(b+c+13\right)x+d+12b+12c\ne0\)        (3)

Thế \(b=-4\) vào (1) và (2), thu được

\(d-3c-36-27=1\Leftrightarrow d-3c=64\)

và \(d+4c-64+64=8\) \(\Leftrightarrow d+4c=8\)

Từ đó suy ra \(\left(c;d\right)=\left(-8;40\right)\)

Thử lại, thấy thỏa mãn.

Do đó, \(\left(b,c,d\right)=\left(-4,-8,40\right)\)

 Nhận thấy \(a\) phải là số nguyên tố lẻ. 

 Xét \(a=3\). Khi đó \(3^2+8=17\) là snt. Lúc này \(3^2+2=11\) cũng là snt (thỏa mãn).

 Xét \(a>3\). Khi đó vì \(a\) là snt nên \(a⋮̸3\) \(\Rightarrow a^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow a^2+8⋮3\), không thỏa mãn.

 Do đó để \(a\) và \(a^2+8\) là snt thì \(a=3\)

 Vậy ta có đpcm.

\(n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\left(k\inℤ\right)\) 

Khi đó \(P=\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)

\(=\dfrac{k}{6}+\dfrac{k^2}{2}+\dfrac{k^3}{3}\)

\(=\dfrac{k+3k^2+2k^3}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k^2+3k+1\right)}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)}{6}\)

 Nhận thấy \(k,k+1\) là 2 số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮2\)

 Nếu \(k\equiv0,2\left[3\right]\) thì dễ thấy \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). Nếu \(k\equiv1\left[3\right]\) thì \(2k+1\equiv2.1+1=3\left[3\right]\) nên \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). 

 Do vậy, \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮6\). Suy ra đpcm.

\(n^5+1⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow n^5-n^3⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow n^3\left(n^2-1\right)⋮n^3+1\)

Vì \(gcd\left(n^3,n^3+1\right)=1\) nên từ đây suy ra \(n^2-1⋮n^3+1\) (*)

Nếu \(n=1\) thì (*) thành \(0⋮2\) (thỏa mãn)

Nếu \(n\ge2\) thì (*) suy ra \(n^3+1\le n^2-1\) 

\(\Leftrightarrow f\left(n\right)=n^3-n^2+2\le0\)     (1)

Ta thấy \(f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)^2+2-n^3+n^2-2\)

\(=n^3+3n^2+3n+1-n^2-2n-1-n^3+n^2\)

\(=3n^2+n>0,\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(n\right)\) là hàm số đồng biến trên \(ℕ_{\ge2}\) (cái này mình kí hiệu cho gọn thôi chứ bạn đừng viết vào bài làm nhé)

\(\Rightarrow f\left(n\right)\ge f\left(2\right)=6>0\)

Do đó (1) vô lý \(\Rightarrow n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn ycbt.