a) Xét 2 tam giác OAM và OCP ta có:

OA = OC (gt)

Góc AOM = góc COP (đối đỉnh)

Góc OCP = góc OAM (so le trong)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> OM = OP (tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có ON = OQ

=> MNPQ là hình bình hành (hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường)

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau (gt)

=> MNPQ là hình thoi

a)Xét tứ giác AMND có AM = ND và AM // ND

=> AMND là hình bình hành

Nên AD // MN

Mà AD vuông góc với AC nên MN ⊥ AC

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN và AM // CN

=> AMCN là hình bình hành

Có hai đường chéo là AC ⊥ MN nên hình bình hành AMCN là hình thoi

Xét 2 tam giác ADF và ABE ta có:

AD = AB (gt)

Góc ADF = Góc ABE (gt)

DF = BE (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (c.g.c)

Suy ra Góc DAF = góc BAE (tương ứng)

Ta lại xét 2 tam giác ADH và ABG ta có:

Góc DAH = góc BAG

AD = AB (gt)

Góc ADH = góc ABG (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (g.c.g)

Suy ra DH = BG

Ta có OD = OB ; DH = BG nên OH = OG

Và AC vuông góc với HG và HO = GO nên AGCH là hình thoi

Vì AC vuông góc Ax và By song song với AC nên By vuông góc với Ax

=> BM // AQ

Xét 2 tam giác BPM và APQ ta có:

Góc PBM = góc PAQ (so le trong)

BP = AP

Góc BPM = góc APQ (đối đỉnh)

Vậy 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = AQ (cạnh tương ứng)

Nên AMBQ là hình bình hành ,có một góc vuông là góc A nên AMBQ là hình chữ nhật

b) Xét tam giác vuông AIB có trung tuyến IP = 1/2 AB . PA = PM = PQ = PB

Vậy PI = PQ

=> Tam giác PIQ cân tại P

Xét 2 tam giác ABM và CDM ta có:

Góc MCD = MAB (so le trong)

Góc MDC = MBA ( so le trong)

AM = MC (gt)

=> 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = MD

=> MA = MB = MC = MD

ABCD là hình bình hành (có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Có 1 góc vuông là góc A

Nên ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => tứ giác AHCD là hình bình hành.

Hình bình hành AHCD có góc H vuông nên AHCD là hình chữ nhật

a) Xét 2 tam giác vuông AHD và BCK ta có:

AD = BC (gt)

Góc ADH = Góc CBK (so le trong)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> AH = CK ( cạnh tương ứng)

Vì 2 đường thẳng vuông góc tại một đường thẳng nên 2 đường thẳng đó song song với nhau

=> AH // CK

=> AHCK là hình bình hành

b) Từ câu a ở trên ta có DH = BK (cạnh tương ứng)

Vì I là trung điểm của HK nên DH + HI = BK + KI = ID = IB

=> IB = ID

a) Xét hình bình hành ABCD ta có:

AD = BC và AD // BC mà E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC nên AE = ED = BF = CF

Lại có ED // BF (AD // BC)

=> EBFD là hình bình hành

b) Vì O giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

=> 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến và cắt nhau tại G nên ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có GN = 1/3 CN và GC = 2/3 CN (tính chất đường trung tuyến)

Tương tự GM = 1/3 BM và GB = 2/3 BM

=> GN = 1/2 GC mà GC có trung điểm là Q nên GQ = CQ = 1/2 GC

=> GQ = CQ = GN

GM = 1/2 GB mà GB có trung điểm là P nên GP = BP = 1/2 GB

=> GP = BP = GM

=> PQMN là hình bình hành vì GN = GQ ; GM = GP

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD mà B và C lần lượt là trung điểm của AE và DF nên ta có:

AE = DF; AB = BE = CD = CF

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD)

Do đó AEFD là hình bình hành

Tương tự ABFC có AB = CF và AB // CF (vì AB // CD)

=> ABFC là hình bình hành

b) Trong hình bình hành AEFD có 2 đường chéo là AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thẳng tại O

Trong khi đó O cũng là giao điểm của 2 đường chéo AF và BC

Mà O cũng là trung điểm của AF và trung điểm của BC và DE

Nên các trung điểm đó trùng nhau