P = A.B = \(\dfrac{x-7}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\left(x-4\right)-3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right).\left(\sqrt{x}+2\right)-3}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\sqrt{x}-2-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\)

\(P\inℤ\) <=> x là số chính phương và \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\inℤ\)

mà \(\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\inℤ\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=3\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (thỏa)

Vậy x = 1 thì P \(\inℤ\)

Có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)}{x+\sqrt{x^2+5}}.\dfrac{\left(y-\sqrt{y^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)}{y+\sqrt{y^2+5}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+5}+y\sqrt{x^2+5}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y^2+5\right)=y^2\left(x^2+5\right)\left(y\le0;x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(\text{loại}\right)\\x=-y\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó M = x³ + y³ = 0

N = x² + y² = 2y²

ĐK : \(x\ne0\)

Ta có \(x^4+2x^3y+x^2.y^2=7x+9\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(x+y\right)^2=7x+9\)

\(\Rightarrow x\left(x+y\right)=\sqrt{7x+9}\left(x\ge-\dfrac{9}{7}\right)\)(1)

Lại có \(x.\left(y-x+1\right)=3\Leftrightarrow x.\left(x+y\right)=2x^2-x+3\) (2) 

Thay (2) vào (1) ta được \(2x^2-x+3=\sqrt{7x+9}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-1=\sqrt{7x+9}-4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).\left(2x+1\right)=\dfrac{7.\left(x-1\right)}{\sqrt{7x+9}+4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\2x+1=\dfrac{7}{\sqrt{7x+9}+4}\end{matrix}\right.\)

Với \(2x+1=\dfrac{7}{\sqrt{7x+9}+4}\) (*)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{3-\sqrt{7x+9}}{\sqrt{7x+9}+4}\)

\(\Leftrightarrow2x+\dfrac{7x}{\left(\sqrt{7x+9}+4\right).\left(\sqrt{7x+9}+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(\text{loại}\right)\\2+\dfrac{7}{\left(\sqrt{7x+9}+4\right).\left(\sqrt{7x+9}+3\right)}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (3) vô nghiệm nên phương trình (*) vô nghiệm

Với x = 1 => y = 3 

Tập nghiệm (x;y) = (1;3)

ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a;\sqrt{8x+1}=b\left(a;b\ge0\right)\)

=> \(a^2=2x-1;b^2=8x+1\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{10}=x\)

Lại có \((13x+1).\sqrt{2x-1}=(7x-1).\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{2x-1}\right)^3+15x.\sqrt{2x-1}=-\left(\sqrt{8x+1}\right)^3+15x.\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-a^3+15ax=-b^3+15bx-4\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-\dfrac{3}{2}.\left(a-b\right).\left(a^2+b^2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^3=8\)

\(\Leftrightarrow a=b-2\)

Thay vào ta được : \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{8x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow3x+3=2\sqrt{8x+1}\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-14x+5=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{5}{9}\end{matrix}\right.\)(tm ĐKXĐ)

\(A=\dfrac{x^5+x^4+1}{x^3-1}-\dfrac{x^3-x-3}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^5+x^4+1-\left(x^3-x-3\right).\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right).\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{4x^2+4x+4}{\left(x-1\right).\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{4}{x-1}\)

Có \(2A=x^3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{x-1}=x^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-16\right)-\left(x^3-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x+2\right).\left(x^2+4\right)-\left(x-2\right).\left(x^2+2x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x^3+x^2+2x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^3+x^2+2x+4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) dùng máy tính được một nghiệm

x \(\approx-1,4\)

1. Kẻ đường kính chứa 1 trong 3 điểm A,B,C  bất kỳ của (O) 

Tam giác ABC chứa tâm O <=>

 (*) Có nhiều nhất 2 điểm nằm 

trên nửa đường tròn (O) có đường kính như trên , không nhận

cạnh nào là đường kính

(*) ABC là tam giác vuông

Nhận thấy khi tam giác ABC nội tiếp (O) thì A,B,C có 3 trường hợp:

TH1 : 3 điểm cùng nằm trên nửa (O ; DE/2) , không có cạnh nào là đường kính

TH2 : 2 điểm nằm trên nửa (O ; DE/2) ; 1 điểm trên nửa (O) còn lại 

TH3 : Tam giác vuông 

Biến cố A : " Tam giác ABC chứa tâm O"

=> P(A) = \(\dfrac{2}{3}\)

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)

Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(x_1^3+x_2^3=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)

\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn

a) Xét trường hợp các chữ số đều bình đẳng :

Số cách sắp xếp 2 chữ số lẻ  khác nhau từ A cho 4 vị trí :

\(C_3^1.C_4^1.C_2^1.C_3^1=72\)

Số cách sắp xếp 2 chữ số chẵn từ A cho 2 vị trí còn lại A : 

\(C_4^1.C_2^1.C_3^1.C_1^1=24\) 

=> Có tất cả : 72.24 = 1728 số 

Xét trường hợp cố định số 0 đứng đầu 

=> Số cách sắp xếp 2 chữ số lẻ từ A cho 3 vị trí :

\(C_3^1.C_3^1.C_2^1.C_2^1=36\)

Số cách sắp xếp 1 chữ số chẵn từ A cho vị trí còn lại :

\(C_3^1.C_1^1=3\)

=> Có tất cả : 1.36.3 = 108 số

=> Số các số thỏa mãn đề : 1728 - 108 = 1620 (số)

b) Gọi số thỏa mãn có dạng \(\overline{abcd}\)

TH1 a = 3 => b \(\in\left\{4;5;6\right\}\) hoặc b = 2

(*) \(b\in\left\{4;5;6\right\}\) => Số các số cần tìm : \(1.C_3^1.A_5^2=60\)

(*) b = 2 => Số các số cần tìm : \(1.1.1.C_2^1+1.1.1.C_4^1=6\)

TH1 có 66 số

TH2 \(a\in\left\{4;5;6\right\}\)

TH2 có : \(C_3^1.A_6^3=360\)

Vậy có tất cả 360 + 66 = 426

Ta có 2x + y = 5 

<=> y = -2x + 5 (d)

Gọi (d1) đồ thị hàm số y = ax + b

Vì (d) // (d1) nên a = -2 ; \(b\ne5\)

=> (d1) có dạng y = -2x + b

Lại có (d1) cắt Ox tại A(3;0) 

=> 0 = -2.3  + b

<=> b = 6

Vậy hàm số có dạng y = -2x + 6

Với x = 2023 

<=> x + 1 = 2024

Khi đó P(2023) = x²⁰²³ - (x + 1).x²⁰²² + ... + (x + 1).x - 1

= x²⁰²³ - x²⁰²³ - x²⁰²² + .. + x² + x - 1

= x - 1 = 2023 - 1 = 2022