Theo đề ra ta có hệ : 

 \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}=1\\\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy (a,b) = (2,1) 

Ta có : \(n_K=\dfrac{m}{M}=\dfrac{3,9}{39}=0,1\) (mol)

\(n_{H_2O}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{96,2}{18}=5,34\)(mol)

Phương trình hóa học : 

2K + 2H₂O ---> 2KOH + H₂ 

2    :  2             :  2        : 1

Nhận thấy \(\dfrac{n_K}{n_{H_2O}}=\dfrac{0,1}{5,34}< \dfrac{2}{2}\)

=> Kali hết , nước dư 

=> \(n_{H_2}=\dfrac{n_K}{2}=0,05\) (mol) 

=> Thể tích khí H₂ : V = n.22,4 = 0,05.22,4 = 1,12(l)

Lại có \(n_{KOH}=0,1\) (mol) => \(m_{KOH}=0,1.56=5,6\) (g)

\(m_{H_2}=0,05.2=0,1\left(g\right)\)

Nồng độ phần trăm của Base thu được : 

\(C\%=\dfrac{m_{KOH}}{m_{dd}-m_{H_2}}=\dfrac{5,6}{96,2+3,9-0,1}=0,056=5,6\%\)

b) Có \(\left|2x+1\right|\ge0;\left|4x^2-1\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left|2x+1\right|+\left|4x^2-1\right|\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\4x^2-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

c) \(\left|2x-1\right|=\left|x+5\right|\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=x+5\\2x-1=-x-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Đặt (n - 2021, n - 2022) = d \(\left(d\inℕ^∗\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-2021⋮d\\n-2022⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n-2021\right)-\left(n-2022\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

do đó (n - 2021, n - 2022) = 1

=> \(\dfrac{n-2021}{n-2022}\) là phân số tối giản

Có \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\right)\ge6\) (1)

Ta chứng minh (1) đúng 

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz : 

\(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a-1}=\sqrt{b-1}=\sqrt{c-1}\\\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\)(tm) 

ĐKXĐ : \(x\ne-1;x\ne2;x\ne-4\)

Ta có : \(\dfrac{2x+5}{x^2+5x+4}-\dfrac{2x+2}{\left(x-2\right).\left(x+4\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1+x+4}{\left(x+1\right).\left(x+4\right)}-\dfrac{x-2+x+4}{\left(x-2\right).\left(x+4\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{x^2-x-2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Tập nghiệm phương trình S = {0;1}

Ta có 2023A = \(\dfrac{2023.\left(2023^{30}+5\right)}{2023^{31}+5}=\dfrac{2023^{31}+5.2023}{2023^{31}+5}\)

\(=1+\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}\)

Lại có 2023B = \(\dfrac{2023.\left(2023^{31}+5\right)}{2023^{32}+5}=\dfrac{2023^{32}+2023.5}{2023^{32}+5}\)

\(=1+\dfrac{2022.5}{2023^{32}+5}\)

Dễ thấy 2023³¹ + 5 < 2023³² + 5

\(\Leftrightarrow\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}>\dfrac{2022.5}{2023^{32}+5}\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}>1+\dfrac{2022.5}{2023^{32}>5}\)

\(\Leftrightarrow2023A>2023B\Leftrightarrow A>B\)

Đặt \(A=\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}\)

do \(x\ge0\Leftrightarrow x+2\ge2\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{x+2}\ge-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2}{x+2}\ge-1\Leftrightarrow A=1-\dfrac{2}{x+2}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

\(\Rightarrow A_{min}=0\) khi x = 0

a) Ta có : \(A=\dfrac{x^2+y^2+5}{x^2+y^2+3}=1+\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\)

Dễ thấy \(x^2\ge0;y^2\ge0\forall x;y\)

nên \(x^2+y^2+3\ge3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{1}{3}\)

<=> \(\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow A=1+\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\dfrac{5}{3}\)(Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\)

TH1 : a = 6

Số cách chọn chữ số a : 1 cách

Số cách chọn chữ số b : 2 cách 

Số cách chọn chữ số c,d : \(A^2_6\)

=> Số các số lập được \(1.2.A^2_6\)

TH2 : a = 7 hoặc a = 8

=> Số các số là : \(2.A^3_7\)

Vậy có tất cả : \(P=1.2.A^2_6+2.A_7^3=480\) số