a) Chứng minh bốn điểm \(O\), \(I\), \(E\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \(J\) là trung điểm của \(I D\)

Xét tam giác \(D O I\) vuông tại \(O\) (do \(A B\) vuông \(C D\)) có \(O J\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra \(J O = J I = J D = \frac{1}{2} I D\) (1)

Ta có \(\hat{I E D} = 9 0^{\circ}\) (do là góc nội tiếp chắn cung \(C D\)) suy ra \(\Delta I E D\) vuông tại \(E\).

Xét tam giác \(I E D\) vuông tại \(E\) có \(E I\) là trung tuyến ứng với canh huyền, suy ra \(J I = J E = J D = \frac{1}{2} I D\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(J\) đường kính \(I D\)

b) Chứng minh: \(A H . A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3. O H\).

Xét \(\Delta A H O\) và \(\Delta A B E\) có:

\(\hat{A O H} = \hat{A E B} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{O A H}\): góc chung

Suy ra \(\Delta A H O sim \Delta A B E\) (g.g)

Suy ra: \(\frac{O A}{O H} = \frac{A E}{B E}\)

Suy ra: \(A H . A E = A O . A B = R . 2 R = 2 R^{2}\)

Ta có \(A B\) và \(C D\) là hai đường kính vuông góc với nhau nên \(= = =\).

Mặt khác \(\hat{C E B} = \frac{1}{2} \&\text{nbsp};\); \(\hat{A E C} = \frac{1}{2} \&\text{nbsp};\).

Suy ra \(\hat{C E B} = \hat{A E C}\).

Vậy \(E I\) là tia phân giác của góc \(A E B\).

Khi đó, ta có:

\(\frac{A E}{B E} = \frac{A I}{I B} = \frac{\frac{3}{2} R}{\frac{1}{2} R} = 3\)

Suy ra: \(\frac{O A}{O H} = 3\), do đó \(O A = 3. O H\)

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(B D\), \(Q\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\). Chứng minh: \(Q , K , I\) thẳng hàng.

Theo ý b) \(O A = 3. O H\) mà \(O A = O D\) nên \(O D = 3 O H\) suy ra \(H D = \frac{2}{3} O D\)

Suy ra \(H\) là trọng tâm \(\Delta A B D\) (1)

⚡Xét tam giác \(O B D\) cân tại \(O\) có \(O K ⊥ B D\) nên \(K\) cũng là trung điểm của \(B D\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A , H , K , E\) thẳng hàng

⚡Xét tam giác \(A B Q\) có \(B D\) và \(A E\) là các đường cao và \(K \in B D\), \(K \in A E\). Suy ra \(K\)là trực tâm của \(\Delta A B Q\).

Suy ra: \(K Q\) vuông góc \(A B\) (*)

⚡Xét tam giác \(O B D\) có \(I K\) là đường trung bình của tam giác nên \(I K / / O D\), suy ra \(I K ⊥ A B\) (góc đồng vị) (**)

b) Xác suất để lấy được \(2\) viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là \(n \left(\right. \Omega \left.\right) = 12\).

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được \(2\) viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là \(n \left(\right. A \left.\right) = 8\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{n \left(\right. A \left.\right)}{n \left(\right. \Omega \left.\right)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). điểm của \(A E\) và \(C D\)

a) Chứng minh bốn điểm \(O\), \(I\), \(E\), \(D\) cùng một đường tròn.

b) Chứng minh: \(A H . A E = 2 R^{2}\)

a) Tần số tương đối của các nhóm \(\left[\right. 10 ; 20 \left.\right)\), \(\left[\right. 20 ; 30 \left.\right)\), \(\left[\right. 30 ; 40 \left.\right)\), \(\left[\right. 40 ; 50 \left.\right)\) lần lượt là:

\(f_{1} = \frac{8.100}{60} \% \approx 13 , 33 \%\);

\(f_{2} = \frac{18.100}{60} \% = 30 \%\);

\(f_{3} = \frac{24.100}{60} \% = 40 \%\);

\(f_{4} = \frac{10.100}{60} \% \approx 16 , 67 \% .\)

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm.