Có góc BOC và góc BOD là hai góc kề bù nên góc BOC cộng goc BOD bằng 180^o BOCB và ∘

Vì OM là tia phân giác của góc BOC nên COM=MOB =(1:2).góc BOC

ON là tia phân giác của góc BOD nên góc DON =NOB =(1:2). góc BOD

Mà tia Ob nằm giữa tia OM và ON

suy ra góc MON=MOB +NOB=(1:2).(góc BOC + góc BOD)=(1:2).180^o=90^o

Mặt khác góc MOP bằng 90 độ (tia OP vuông góc với OM)

Suy ra góc MON cộng góc MOP bằng 90 độ cộng 90 độ bằng 180 độ

mà hai tia OP và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ OM nên hai tia OP và ON là hai tia đối nhau 

Kết hợp OC và Od là hai tia đối suy ra góc COP và góc DON là hai góc đối đỉnh

Vơi $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có $2n$ tia chung gồc.

Chọn $1$ tia trong $2n$ tia chung gốc đó, tạo với $2n-1$ tia còn lại, ta được $2n-1$ (góc).

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được $2n.(2n-1)$ (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là 2n.(2n−1)2=n.(2n−1)

​\(\dfrac{2n.\left(2n-1\right)}{2}\)=n.(2n-2) (góc)

Vì có $n$ đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là $n.(2n-1)-n=n.(2n-2)$ (góc).

Mỗi góc trong số $n.(2n-2)$ góc đó đ có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là n(2n−2)2=n.(n−1)

​\(\dfrac{n.\left(2n-2\right)}{2}\)=n.(n-1)

Vậy với $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được $n.(n-1)$ cặp góc đối đỉnh.

Vì góc xON và góc x'ON là hai góc kề bù nên góc xON + góc x'ON = 180⁰

mà góc xON= 90 độ nên x'ON =90 độ

vì tia Op là tia phân giác của góc x'ON nên góc x'OP=  góc PON= \(\dfrac{1}{2}\). góc x'On =45 độ

Mặt khác hai tia OP và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xx' nên góc MOP bằng góc PON cộng góc xON cộng góc xOM=45 độ + 90 độ = 45 độ bằng 180 độ

suy ra hai tia OP và OM là hai tia dối nhau mà Ox và Ox' là hai tia đối nhau

suy ra góc xOM và góc x'OP là hai góc đối đỉnh

Vi $O$ nằm trên đường thẳng xx′xx′ nên hai tia $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau. (1)

Do $ON$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $Ox$ nên tia $Ox$ nằm giữa $ON$ và $OM$.

suy ra góc xOM+ góc xON= 140⁰ +40⁰=180⁰

^{Vậy góc xOM và góc xON là hai góc kề bù}

^{suy ra hai tia OM và ON dối nhau (2)}

^{từ (1) và (2) suy ra góc xON và góc x'OM là hai góc đối đỉnh}

Vì góc AOD và góc BOC đối đỉnh nên góc AOD = góc BOC

mà góc AOD + góc BOC =100⁰  nên góc AOD = góc BOC= 100⁰ :2=50⁰

Lại có góc BOD và góc BOC kề bù nên góc BOD + góc BOC =180⁰

suy ra góc BOD =180⁰ - 50⁰=130⁰

suy ra góc AOC = góc BOD =130⁰ (hai góc đối đỉnh)