a/

Xét tg ABM

\(\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MB}\) (Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{AE.MB}{AM}=\dfrac{5.4}{6}=\dfrac{20}{6}cm\)

\(\Rightarrow AB=AE+BE=5+\dfrac{20}{6}\)

b/

Ta có

\(\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MB}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AM}{MB}\)

Xét tg AMC có

\(\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{CF}{MC}\) (T/c đường phân giác)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AM}{MC}\)

Mà \(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AM}{MC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AF}{CF}\) => EF//BC (Talet đảo trong tg)

c/

EF//BC => EF//IK

\(EI\perp BC\left(gt\right);FK\perp BC\left(gt\right)\) => EI//FK

=> EFKI là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(EI\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{EIK}=90^o\)

=> EFKI là hình CN => EK = IF (trong HCN 2 đường chéo = nhau)

a/

\(A=x^2-4x+4+2=\)

\(=\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\)

b/

\(B=3\left(x^2+4x+4\right)-19=3\left(x+2\right)^2-19\ge-19\)

\(\Rightarrow B_{min}=-19\)

c/

\(C=\left(x^2+y^2+1+2xy-2y-2x\right)+\left(x^2+4x+4\right)+2023=\)

\(=\left(x+y-1\right)^2+\left(x+2\right)^2+2023\ge2023\)

\(\Rightarrow C_{min}=2023\)

\(A=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left[\left(x^2+5x+4\right)+2\right]+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)^2+2\left(x^2+5x+4\right)+1=\)

\(=\left[\left(x^2+5x+4\right)+1\right]^2\)

Khi thêm như thế hiệu 2 số đã giảm là

10-6,5=3,5

Hiệu 2 số là

18,35+3,5=21,85

\(\dfrac{m+5}{m}=1+\dfrac{5}{m}\)

\(\left(m+5\right)⋮m\) khi

\(m=\left\{-5,-1;1;5\right\}\)

30 phut = 0,5 giờ

Khi 2 xe đi ngược chiều gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được là quãng đường AB = 35 km

Khi 2 xe đi cùng chiều gặp nhau thì

Tổng quãng đường 2 xe đi được là

1,75:0,5x35=122,5 km

Và hiệu giữa quãng đường xe ô tô đi được với quãng đường xe máy đi được là quãng đường AB = 35 km

Khi đi cùng chiều quãng đường xe máy đi được từ B đến chỗ gặp nhau là

(122,5-35):2=43,75 km

Vận tốc xe máy là

43,75:1,75=25 km/h

Khi đi cùng chiều quãng đường ô tô đi được từ A đến chỗ gặp nhau là

43,75+35=78,75 km

Vân tốc ô tô là

78,75:1,75=45 km/h

\(A=\left(2xy-x^2-y^2+z^2\right)\left(2xy+x^2+y^2-z^2\right)=\)

\(=\left[z^2-\left(x-y\right)^2\right]\left[\left(x+y\right)^2-z^2\right]=\)

\(=\left(z-x+y\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)\)

Ta có

\(z+y>x\Leftrightarrow z-x+y>0\)

\(z+x>y\Leftrightarrow z+x-y>0\)

\(x+y>z\Leftrightarrow x+y-z>0\)

\(x+y+z>0\)

\(\Rightarrow A>0\)

\(\overline{aa}=\dfrac{n\left(1+n\right)}{2}\Leftrightarrow2.\overline{aa}=n\left(n+1\right)\)

Do \(\overline{aa}\le99\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\le2.99=2.9.11=198\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮11\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n⋮11\\n+1⋮11\end{matrix}\right.\) 

+ Nếu \(n⋮11\Rightarrow n=11.k\) (k là số tự nhiên \(\ne0\) )

\(\Rightarrow n\left(n+11\right)=11.k\left(11.k+1\right)\)

nếu \(k\ge2\Rightarrow n\left(n+1\right)\ge11.2\left(11.2+1\right)=506>198\) 

\(\Rightarrow k=1\Rightarrow n\left(n+1\right)=11\left(11+1\right)=120\)

\(\Rightarrow\overline{aa}=120:2=60\) (loại)

+ Nếu \(n+1⋮11\)\(\Rightarrow n+1=11.k\) (k là số tự nhiên \(\ne0\) )

\(\Rightarrow n=11.k-1\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=\left(11.k-1\right)11.k\)

nếu \(k\ge2\Rightarrow\left(11.k-1\right).11.k\ge\left(11.2-1\right)11.2=462>198\)

\(\Rightarrow k=1\Rightarrow n\left(n+1\right)=\left(11-1\right)11=110\)

\(\Rightarrow\overline{aa}=110:2=55\)

Khi đó

\(n+1=11\Rightarrow n=10\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC.AB=\dfrac{1}{2}bc=96\Rightarrow bc=192\)

Ta có hệ PT

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{c}{b}=\dfrac{3}{4}\\bc=192\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải hệ nhé