\(8A=8^2+8^3+8^4+...+8^{301}\)

\(\Rightarrow7A=8A-A=8^{301}-8\)

\(\Leftrightarrow8A+8=8^{301}\)

\(\dfrac{n^2-n+3}{n-2}=n+1+\dfrac{5}{n-2}\) (chia đa thức)

để \(\left(n^2-n+3\right)⋮\left(n-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-3;1;3;7\right\}\)

a/

2 tam giác ABD và tg BCD có đường cao từ D->AB = đường cao từ B->DC nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABD và tg BCD có chung BD nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\) đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung BE nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\)đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có đường cao từ C->AB = đường cao từ A->DC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có chung AC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung CE nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung đường cao từ C->BD nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\)

b/

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{1}{2}\) (cmt) 

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{S_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

2 tg EAB và tg ABD có chung đường cao từ A->BD nên

\(\dfrac{S_{EAB}}{S_{ABD}}=\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow S_{EAB}=\dfrac{S_{ABD}}{3}=\dfrac{\dfrac{S_{ABCD}}{3}}{3}=\dfrac{S_{ABCD}}{9}\)

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\)

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{ACD}=\dfrac{2xS_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

2 tg EDC và tg ACD có chung đường cao từ D->AC nên

\(\dfrac{S_{EDC}}{S_{ACD}}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{EDC}=\dfrac{2xS_{ACD}}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}x\dfrac{2}{3}xS_{ABCD}}{3}=\dfrac{4xS_{ABCD}}{9}\)

a/

Ta có

\(AE\perp d\left(gt\right);OC\perp d\left(gt\right);BF\perp d\left(gt\right)\) => AE//OC//BF

\(\Rightarrow\dfrac{CE}{OA}=\dfrac{CF}{OB}\left(Talet\right)\) Mà \(OA=OB\Rightarrow CE=CF\)

Xét (O)

\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAC}\) ) 

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nt) 

\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ABC}\) 

Xét tg vuông ACH và tg vuông ACE

 \(\widehat{ACH}=\widehat{ACE}\) (cùng \(=\widehat{ABC}\))

AC chung

=> tg ACH = tg ACE (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AH=AE\) (1)

C/m tương tự ta cũng có tg BCH = tg BCF

\(\Rightarrow BH=BF\) (2)

Xét tg vuông ACB

\(CH^2=AH.BH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (3)

Từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow CH^2=AE.BF\)

b/

tg ACH = tg ACE (cmt)\(\Rightarrow CH=CE\)

tg BCH = tg BCF (cmt)\(\Rightarrow CH=CF\)

\(\Rightarrow EF=CE+CF=2CH\)

EF lớn nhất khi CH lớn nhất; CH lớn nhất khi CH = bán kính (O)

\(\Rightarrow H\equiv O\)

Xét tg vuông ACO và tg vuông BCO có

OA=OB; OC chung => tg ACO = tg BCO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AC=BC\Rightarrow sđcungAC=sđcungBC\)(trong hình tròn 2 dây cung = nhau thì 2 cung chắn tương ứng có số đo bằng nhau)

=> C là điểm giữa của cung AB

\(\Leftrightarrow x\left(y+2\right)+\left(y+2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+2\right)=5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+2=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=5\\y+2=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+2=-5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-5\\y+2=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1-a}{-2}=\dfrac{2-b}{-3}=\dfrac{c-5}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-2+2a}{4}=\dfrac{2-b}{-3}=\dfrac{3c-15}{15}=\dfrac{-2+2a+2-b+3c-15}{4-3+15}=\)

\(=\dfrac{3c+2a-b-15}{16}=\dfrac{31-15}{16}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1-a}{-2}=1\Rightarrow a=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{2-b}{-3}=1\Rightarrow b=5\)

\(\Rightarrow\dfrac{c-5}{5}=1\Rightarrow c=10\)

a/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOC có

\(OB=OC=R;OA\) chung => tg AOB = tg AOC (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\) => tg ABC cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

\(\widehat{BCD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CD\perp BC\)

=> OA//CD (cùng vg với BC)

b/

Xét tg vuông AOB có

\(OB^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Ta có

\(\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow OB=\dfrac{BD}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2=OH.OA\Rightarrow4OH.OA=BD^2\)

c/

Xét tg vuông AOC có

\(AC^2=AH.AO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (1)

Xét tg ACN và tg ADC có

\(\widehat{CAD}\) chung

\(sđ\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}sđcungCN\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCN\) (góc nt đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ACN}=\widehat{ADC}\)

=> tg ACN đồng dạng với tg ADC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AC^2=AN.AD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AN.AD=AH.AO\)

a(b²-1)(c²-1)+b(a²-1)(c²-1)+c(a²-1)(b²-1)=

=(ab²-a)(c²-1)+(a²b-b)(c²-1)+(a²c-c)(b²-1)=

=ab²c²-ab²-ac²+a+a²bc²-a²b-bc²+b+a²b²c-a²c-b²c+c=

=abc(ab+bc+ac)-(ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c)=

=(a+b+c)(ab+bc+ac)-(ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c)=

=a²b+abc+a²c+ab²+b²c+abc+abc+bc²+ac²-ab²-ac²-a²b-bc²-a²c-b²c=

=3abc

Ta có

\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2c-ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]=0\) 

Do \(a\ne b\Rightarrow a-b\ne0\)

\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)=0\) (1)

Ta có

\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)=4024\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+b^2c=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a^2+b^2\right)=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2-2abc=4024\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]-2abc=4024\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\Rightarrow-2abc=4024\Leftrightarrow-abc=2012\)

(1)\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=-ab\) Nhân cả 2 vế với c

\(\Rightarrow c^2\left(a+b\right)=-abc\)

\(\Rightarrow M=c^2\left(a+b\right)=-abc=2012\)

a/

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ....)

MO chung

=> tg AMO = tg BMO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)

Xét tg AMB có

MA=MB (cmt) => tg AMB cân tại M

\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OM\perp AB\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

b/

Xét tg vuong OIM và tg vuông OHN có

\(\widehat{MON}\) chung

=> tg OIM đồng dạng với tg OHN

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow OI.ON=OH.OM\)

tg OIM đồng dạng với tg OHN (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ONA}=\widehat{OMI}\)

Ta có A và I cùng nhìn OM dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\)

=> AOIM là tứ giác nt

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{OMI}\) (góc nt cùng chắn cung OI)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{ONA}=\widehat{OMI}\) 

c/