a/

\(sđ\widehat{BAP}=\dfrac{1}{2}sđcungBP\) (góc nt)

\(sđ\widehat{CAP}=\dfrac{1}{2}sđcungCP\) (góc nt)

Mà \(\widehat{BAP}=\widehat{CAP}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow sđcungBP=sđcungCP\)

\(sđ\widehat{BOP}=sđcungBP\) (góc ở tâm)

\(sđ\widehat{COP}=sđcungCP\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow\widehat{BOP}=\widehat{COP}\)

Xét \(\Delta BOC\)

\(OB=OC\) (bán kính (O)) => \(\Delta BOC\) cân tại O

\(\widehat{BOP}=\widehat{COP}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OP\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

\(AH\perp BC\left(gt\right)\)

=> OP//AH (cung vg với BC)

b/

Xét \(\Delta OAC\)

\(OA=OC\) (bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OAC\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAP}=\widehat{OPA}\) (góc ở đáy tg cân)

OP//AH (cmt) \(\Rightarrow\widehat{HAP}=\widehat{OPA}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OAP}=\widehat{HAP}\) (cùng \(=\widehat{OPA}\) )

=> AP là phân giác của \(\widehat{OAH}\)

a/

\(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=\widehat{BOD}=\widehat{DOA}=90^o\)

\(sđ\widehat{AOC}=sđcungAC\) (góc ở tâm)

\(sđ\widehat{COB}=sđcungCB\) (nt)

\(sđ\widehat{BOD}=sđcungBD\) (nt)

\(sđ\widehat{DOA}=sđcungDA\) (nt)

\(\Rightarrow sđcungDA=sđcungBD\)

Xét \(\Delta DFE\) và \(\Delta DCP\)

\(sđ\widehat{AFD}=\dfrac{1}{2}sđcungDA\) (góc nt)

\(sđ\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc nt)

Mà \(sđcungDA=sđcungBD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFD}=\widehat{BCD}\)

\(\widehat{CDF}\) chung

\(\Rightarrow\Delta DFE\sim\Delta DCP\left(g.g.g\right)\)

b/

Xét \(\Delta HBD\)

\(AB\perp CD\left(gt\right)\Rightarrow BO\perp DH\)

\(\widehat{CBD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BC\perp BD\)

HG//BC (gt)

\(\Rightarrow HG\perp BD\)

=> G là trực tâm của \(\Delta HBD\)

c/

Số cần tìm phải là số có 2 hoặc 3 chữ số

+ TH số cần tìm là số có 2 chữ số ta đặt là \(\overline{ab}\) . theo đề bài

\(\overline{ab}+a+b=106\)

\(10xa+b+a+b=106\)

\(11xa+2xb=106\)

Do \(b\le9\Rightarrow2xb\le18\Rightarrow101xa\ge106-18=88\)

\(\Rightarrow a=8\) hoặc \(a=9\)

Với \(a=8\)

\(\Rightarrow11xa+2xb=106\Rightarrow11x8+2xb=106\Rightarrow b=9\)

Thử: \(89+8+9=106\) 

Với \(a=9\)

\(\Rightarrow11xa+2xb=106\Rightarrow11x9+2xb=106\Rightarrow2xb=7\) (loại)

+ TH số cần tìm là số có 3 chữ số ta đặt là \(\overline{abc}\), Theo đề bài

\(\overline{abc}+a+b+c=106\)

\(100xa+10xb+c+a+b+c=106\)

\(101xa+11xb+2xc=106\)

\(\Rightarrow101xa\le106\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow101xa+11xb+2xc=106\)

\(11xb+2xc=106-101=5\)

\(\Rightarrow b=0\)

\(\Rightarrow11xb+2xc=5\)

\(\Rightarrow2xc=5\) (loại)

Kết luận số cần tìm là 89

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{-a+b+c}{a}=\)

\(=\dfrac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\)

\(=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b-c}{c}=1\Leftrightarrow a+b=2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{-a+b+c}{a}=1\Leftrightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{a-b+c}{b}=1\Leftrightarrow a+c=2b\)

\(A=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}=\dfrac{2c.2a.2b}{abc}=8\)

a/

B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO 

=> ABOC là tứ giác nt

b/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOC có

\(OB=OC=R\)

OA chung

=> tg AOB = tg AOC => AB=AC => tg ABC cân tại A

 tg AOB = tg AOC \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

c/

Xét tg ABE và tg ADB có

\(\widehat{BAD}\) chung

\(sđ\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (góc nt đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

=> tg ABE đồng dạng với tg ADB (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD\)

Mà AB=AC (cmt) \(\Rightarrow AC^2=AE.AD\)

Xét tg vuông ABO có

\(AB^2=AH.AO\)

\(\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)

a/

\(DE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\) => DE//AC (cùng vg với AB)

=> DE//AF

\(DF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\) => DF//AB (cùng vg với AC)

=> DF//AE

=> AEDF là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(A=90^o\left(gt\right)\)

=> AEDF là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

b/

Xét tg ABC có

\(BD=CD\); DF//AB (cmt) \(\Rightarrow AF=CF\) (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tứ giác ADCM có

\(AF=CF\left(cmt\right);DF=MF\left(gt\right)\) => ADCM là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(DF\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow DM\perp AC\)

=> ADCM là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

c/

Ta có

ADCM là hbh (cmt) => AM//CD (cạnh đối hbh) => AM//BD

\(AM=CD\) (cạnh đối hbh), mà BD=CD \(\Rightarrow AM=BD\)

=> ABDM là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

d/ Gọi G là giao của AD với BF

Xét tg MNF và tg DGF có

\(\widehat{MFN}=\widehat{DFG}\) (góc đối đỉnh)

MC//AD (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{FMN}=\widehat{FDG}\) (góc so le trong)

\(DF=MF\left(gt\right)\)

=> tg MNF = tg DGF (g.c.g) \(\Rightarrow MN=DG\) (1)

Xét tg ABC 

\(BD=CD\left(gt\right);AF=CF\left(cmt\right)\) => G là trọng tâm của tg ABC

\(\Rightarrow\dfrac{DG}{AD}=\dfrac{1}{3}\) (2)

Mà \(AD=CM\) (cạnh đối hbh) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{DG}{AD}=\dfrac{1}{3}\)

a/

\(B+C=180^o-A=180^o-40^o=140^o\) (Tổng các góc trong của một tg \(=180^o\))

\(B=C\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow B=C=\dfrac{140^o}{2}=70^o\)

b/ Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(AB=AC\) (cạnh bên tg cân)

\(B=C\left(cmt\right)\)

=> tg ABH = tg ACH (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

c/ 

Xét tg vuông ABH và tg vuông DCH có

\(HA=HD\left(gt\right)\)

\(\Delta ABH=\Delta ACH\left(cmt\right)\Rightarrow BH=CH\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DCH\) (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CDH}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB//CD

\(3H=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}+\dfrac{4}{3^3}+...+\dfrac{2017}{3^{2016}}\)

\(2H=3H-H=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2016}}-\dfrac{2017}{3^{2017}}\)

Đăt \(D=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2016}}\)

\(3D=3+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2015}}\)

\(2D=3D-D=2-\dfrac{1}{3^{2016}}\Rightarrow D=\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)\)

\(\Rightarrow2H=\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)-\dfrac{2017}{3^{2017}}\)

\(\Rightarrow H=\dfrac{1}{4}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)-\dfrac{2017}{2.3^{2017}}\)

a/

Ta có

\(ED\perp AC;AB\perp AC\) => ED//AB (cùng vg với AC)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{AE}=\dfrac{CD}{DB}\) (Talet trong tam giác)

\(\Rightarrow DB=\dfrac{AE.CD}{EC}=\dfrac{6.5}{3}=10m\)

b/ 

\(AC=EC+AE=3+6=9m\)

Xét tg vuông CED và tg vuông CAB có \(\widehat{C}\) chung

=> tg CED đồng dạng với tg CAB

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{ED}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{AC.ED}{EC}=\dfrac{9.4}{3}=12m\)

a/

Xét \(\Delta ABC\)

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABC\)  cân tại A

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\)

\(AB=AC\left(gt\right);BD=CD\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

b/

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta AEB\)

\(AF=AE\left(gt\right);AC=AB\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AFC=\Delta AEB\left(c.g.c\right)\)

Ta có \(\Delta AFC=\Delta AEB\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow CF\perp AB\)

c/

Xét tg vuông BEC có

\(BD=CD\left(gt\right)\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(DE=DK\left(gt\right)\Rightarrow DK=\dfrac{1}{2}BC\)