\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{-a+b+c}{a}=\)

\(=\dfrac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\)

\(=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b-c}{c}=1\Leftrightarrow a+b=2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{-a+b+c}{a}=1\Leftrightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{a-b+c}{b}=1\Leftrightarrow a+c=2b\)

\(A=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}=\dfrac{2c.2a.2b}{abc}=8\)

a/

B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO 

=> ABOC là tứ giác nt

b/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOC có

\(OB=OC=R\)

OA chung

=> tg AOB = tg AOC => AB=AC => tg ABC cân tại A

 tg AOB = tg AOC \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

c/

Xét tg ABE và tg ADB có

\(\widehat{BAD}\) chung

\(sđ\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (góc nt đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

=> tg ABE đồng dạng với tg ADB (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD\)

Mà AB=AC (cmt) \(\Rightarrow AC^2=AE.AD\)

Xét tg vuông ABO có

\(AB^2=AH.AO\)

\(\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)

a/

\(DE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\) => DE//AC (cùng vg với AB)

=> DE//AF

\(DF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\) => DF//AB (cùng vg với AC)

=> DF//AE

=> AEDF là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(A=90^o\left(gt\right)\)

=> AEDF là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

b/

Xét tg ABC có

\(BD=CD\); DF//AB (cmt) \(\Rightarrow AF=CF\) (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tứ giác ADCM có

\(AF=CF\left(cmt\right);DF=MF\left(gt\right)\) => ADCM là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(DF\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow DM\perp AC\)

=> ADCM là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

c/

Ta có

ADCM là hbh (cmt) => AM//CD (cạnh đối hbh) => AM//BD

\(AM=CD\) (cạnh đối hbh), mà BD=CD \(\Rightarrow AM=BD\)

=> ABDM là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

d/ Gọi G là giao của AD với BF

Xét tg MNF và tg DGF có

\(\widehat{MFN}=\widehat{DFG}\) (góc đối đỉnh)

MC//AD (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{FMN}=\widehat{FDG}\) (góc so le trong)

\(DF=MF\left(gt\right)\)

=> tg MNF = tg DGF (g.c.g) \(\Rightarrow MN=DG\) (1)

Xét tg ABC 

\(BD=CD\left(gt\right);AF=CF\left(cmt\right)\) => G là trọng tâm của tg ABC

\(\Rightarrow\dfrac{DG}{AD}=\dfrac{1}{3}\) (2)

Mà \(AD=CM\) (cạnh đối hbh) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{DG}{AD}=\dfrac{1}{3}\)

a/

\(B+C=180^o-A=180^o-40^o=140^o\) (Tổng các góc trong của một tg \(=180^o\))

\(B=C\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow B=C=\dfrac{140^o}{2}=70^o\)

b/ Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(AB=AC\) (cạnh bên tg cân)

\(B=C\left(cmt\right)\)

=> tg ABH = tg ACH (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

c/ 

Xét tg vuông ABH và tg vuông DCH có

\(HA=HD\left(gt\right)\)

\(\Delta ABH=\Delta ACH\left(cmt\right)\Rightarrow BH=CH\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DCH\) (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CDH}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB//CD

\(3H=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}+\dfrac{4}{3^3}+...+\dfrac{2017}{3^{2016}}\)

\(2H=3H-H=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2016}}-\dfrac{2017}{3^{2017}}\)

Đăt \(D=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2016}}\)

\(3D=3+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2015}}\)

\(2D=3D-D=2-\dfrac{1}{3^{2016}}\Rightarrow D=\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)\)

\(\Rightarrow2H=\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)-\dfrac{2017}{3^{2017}}\)

\(\Rightarrow H=\dfrac{1}{4}\left(2-\dfrac{1}{3^{2016}}\right)-\dfrac{2017}{2.3^{2017}}\)

a/

Ta có

\(ED\perp AC;AB\perp AC\) => ED//AB (cùng vg với AC)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{AE}=\dfrac{CD}{DB}\) (Talet trong tam giác)

\(\Rightarrow DB=\dfrac{AE.CD}{EC}=\dfrac{6.5}{3}=10m\)

b/ 

\(AC=EC+AE=3+6=9m\)

Xét tg vuông CED và tg vuông CAB có \(\widehat{C}\) chung

=> tg CED đồng dạng với tg CAB

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{ED}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{AC.ED}{EC}=\dfrac{9.4}{3}=12m\)

a/

Xét \(\Delta ABC\)

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABC\)  cân tại A

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\)

\(AB=AC\left(gt\right);BD=CD\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

b/

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta AEB\)

\(AF=AE\left(gt\right);AC=AB\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AFC=\Delta AEB\left(c.g.c\right)\)

Ta có \(\Delta AFC=\Delta AEB\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow CF\perp AB\)

c/

Xét tg vuông BEC có

\(BD=CD\left(gt\right)\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(DE=DK\left(gt\right)\Rightarrow DK=\dfrac{1}{2}BC\)

Trong mp (ABC) gọi P là giao của MN với BC

\(P\in MN;MN\in\left(MNG\right)\Rightarrow P\in\left(MNG\right)\)

\(G\in\left(MNG\right)\)

\(\Rightarrow GP\in\left(MNG\right)\)

Ta có

\(G\in\left(BCD\right)\)

\(P\in BC;BC\in\left(BCD\right)\Rightarrow P\in\left(BCD\right)\)

\(\Rightarrow GP\in\left(BCD\right)\)

Trong mp (BCD) gọi K là giao của GP với CD

\(\Rightarrow K\in CD\)

\(K\in GP;GP\in\left(MNG\right)\left(cmt\right)\Rightarrow K\in\left(MNG\right)\)

=> K là giao của CD với (MNG)

a/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO 

\(OB=OC=R\); OA chung => tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\) => tg ABC cân tại A

Xét tg cân ABC

tg ABO = tg ACO (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến)

b/

Xét tg vuông ABO có

\(BH^2=OH.HA\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Ta có 

AO là đường trung tuyến của tg ABC (cmt) => BH=CH

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow BH^2=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=OH.HA\)

\(\Rightarrow4OH.HA=BC^2\)

c/

Xét tg vuông ABO có

\(OB^2=R^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông IDO có

\(OD^2=R^2=OT.OI\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow OH.OA=OT.OI=R^2\)

\(\dfrac{2n-3}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-7}{n+2}=2+\dfrac{7}{n+2}\)

để \(2n-3⋮n+2\) khi

\(\left(n+2\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-9;-3;-1;5\right\}\)