ABCDEFIK

a/

AB//CD (cạnh đối hbh) => AE//CF (1)

\(AE=\frac{AB}{2};CF=\frac{CD}{2}\) và \(AB=CD\) (cạnh đối hbh)

\(\rArr AE=CF\) (2)

Từ (1) và (2) \(\rArr AECF\) là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

b/

C/m tương tự câu a ta cũng có AEFD là hbh

\(AE=\frac{AB}{2};AD=\frac{AB}{2}\rArr AE=AD\)

\(\rArr AEFD\) là hình thoi (hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau là hình thoi)

c/

AF//CE (cạnh đối hbh AECF) => IF//KE

C/m tương tự câu a ta cũng có BEDF là hbh

=>DE//BF =>IE//KF

=> EIFK là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Xét hình thoi AEFD có AF⊥DE (Trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc)

=> EIFK là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

d/

Khi EIFK là hình vuông

=> IE=IF

Mà \(IE=\frac{DE}{2};IF=\frac{AF}{2}\rArr DE=AF\)

Hình thoi AEFD có DE = AF => AEFD là hình vuông (Hình thoi có 2 đường chéo băng nhau là hình vuông)

=> ABCD là hình CN

ABCDMENHFPOIK

a/

\(\hat{ACK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => CK⊥AC

BH⊥AC

=> BH//CK (cùng ⊥AC) (1)

\(\hat{ABK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => BK⊥AB

CH⊥AB

=> CH//BK (cùng ⊥AB) (2)

Từ (1) và (2) => BHCK là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Do I là trung điểm BC => I là trung điểm của HK (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét △AHK

OK=OA=R; IK=IH => OI là đường trung bình của △AHK

=> \(OI=\frac{AH}{2}\rArr AH=2OI\)

b/

Ta có F và E cùng nhìn BC dưới 2 góc = nhau và \(=90^{o}\)

=> F và E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> B; F; C; E cùng nằm trên 1 đường tròn

c/ Xét tứ giác nt BFEC có

\(\hat{CFE}=\hat{CBN}\) (Góc nt cùng chắn cung CE)

Xét (O)

\(\hat{CBN}=\hat{CPN}\) (Góc nt cùng chắn cung CN)

\(\rArr\hat{CFE}=\hat{CPN}\)

Hai góc trên ở vị trí đồng vị => EF//NP

M A B D H C

a/

Xét tg vuông OAM và tg vuông OBM

OA = OB = R

OM chung

=> tg OAM = tg OBM (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

=> MA = MB => tg MAB cân tại M và ^OMA = ^OMB

=> OM vuông góc với AB (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

b/

Ta có

^ACD = 90^o (góc nt chắn nửa đường tròn) => AC vg với MD

OM vg với AB (cmt)

=> H và C cùng nhìn MA dưới 2 góc = nhau và = 90^o 

=> H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính MA => A; H; C; M cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Xét tứ giác nt AHCM có

^AMC + ^AHC = 180^o (trong tứ giác nt tổng 2 góc đối nhau = 180^o)

^CHB + ^AHC = ^AHB = 180^o

=> ^CHB = ^AMC => sinCHB = sinAMC

Xét tg vuông AMC có

cosAMC = MC/MA

sinCHB = sinAMC = AC/MA

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MA²

Xét tg vuông AMD

MA² = MC.DM (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông băng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MC.DM

=> AC = DM.cosAMC . sinCHB

c/

Xét \(\Delta ABC\)

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(AO\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\) (trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o\) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) (góc đối hình bình hành) 

AE//BC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{ECG}\) (góc so le trong) 

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ECG}\) (2)

Xét \(\Delta OCF\)

\(OC=OF\Rightarrow\Delta OCF\) cân tại O

\(IC=IF\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow OI\perp CF\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông CIG

\(\widehat{BGO}+\widehat{ECG}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{BGO}\Rightarrow\widehat{BAC}=2\widehat{BGO}\)

\(A=\left(10^{50}-1\right)+18.50=\)

\(=999...9+900\) (999...9 có 50 chữ số 9)

\(\Rightarrow A=999...900+99+900\) (999...900 có 48 chữ số 9)

\(\Rightarrow A=\left(999.10^{47}+999.10^{44}+999.10^{41}+...+999.10^2\right)+999=\)

\(=999\left(10^{47}+10^{44}+10^{41}+...+10^2+1\right)\)

Mà \(999=27.37⋮27\)

\(\Rightarrow A⋮17\)

\(\dfrac{a+b-2c}{c}=\dfrac{b+c-2a}{a}=\dfrac{c+a-2b}{b}=\)

\(=\dfrac{a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b}{c+a+b}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b-2c}{c}=0\Leftrightarrow a+b=2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{b+c-2a}{a}=0\Leftrightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{c+a-2b}{b}=0\Leftrightarrow c+a=2b\)

Ta có

\(M=\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\)

\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}=\dfrac{2c.2a.2b}{b.c.a}=8\)

a/

Xét tg vuông MOA và tg vuông MOB có

OM chung; \(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MOA=\Delta MOB\) (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) => MO là phân giác của \(\widehat{BMA}\)

b/

Xét \(\Delta AHO\) và \(\Delta BHO\)

\(\Delta MOA=\Delta MOB\left(cmt\right)\Rightarrow OA=OB;OH\) chung

\(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHO=\Delta BHO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}\)

Mà \(\widehat{AHO}+\widehat{BHO}=\widehat{AHB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}=\dfrac{\widehat{AHB}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow OM\perp AB\)

c/

Ta có

DE//AB (gt); \(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OM\perp DE\)

Xét \(\Delta ODE\)

\(OM\perp DE\left(cmt\right)\)

\(MB\perp Oy\left(gt\right)\Rightarrow DM\perp OE\)

=> M là trực tâm của \(\Delta ODE\)

\(\Rightarrow EM\perp OD\) (trong tg 3 đường cao đông quy)

Mà \(MA\perp Ox\left(gt\right)\Rightarrow MA\perp OD\)

\(\Rightarrow EM\equiv MA\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

=> A, M, E thẳng hàng

Số điểm tối đa đạt được

50x20=1000 điểm

Số điểm mỗi câu sai bị mất là

20+15=35 điểm

Tổng số điểm bị mất là

1000-650=350 điểm

Số câu sai là

350:35=10 câu

Số câu đúng là

50-10=40 câu

c/

Ta có AKCI là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow AF=CF\) (trong hình thoi 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tg vuông AHC có

\(AF=CF\left(cmt\right)\Rightarrow HF=AF=CF=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg FHC cân tại F

\(\Rightarrow\widehat{CHF}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân) (1)

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{HAB}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\)) (2)

Từ (1) Và (2) \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{CHF}\)

2 tg ACM và tg BCM có chung đường cao từ C->AB nên

\(\dfrac{S_{ACM}}{S_{BCM}}=\dfrac{MA}{MB}=1\Rightarrow S_{ACM}=S_{BCM}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

2 tg ABN và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow S_{ABN}=\dfrac{1}{4}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ACN}=S_{ABC}-S_{ABN}=S_{ABC}-\dfrac{1}{4}xS_{ABC}=\dfrac{3}{4}xS_{ABC}=\dfrac{3}{4}x88=66cm^2\)

2 tg BMN và tg AMN có chung đường cao từ N->AB nên

\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{BMN}}=\dfrac{MA}{MB}=1\Rightarrow S_{AMN}=S_{BMN}=\dfrac{1}{2}xS_{ABN}=\dfrac{1}{2}x\dfrac{1}{4}sS_{ABC}=\dfrac{1}{8}xS_{ABC}\)

\(S_{MNC}=S_{BCM}-S_{BMN}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}-\dfrac{1}{8}xS_{ABC}=\dfrac{3}{8}xS_{ABC}\)

\(\dfrac{S_{MNC}}{S_{ACM}}=\dfrac{\dfrac{3}{8}xS_{ABC}}{\dfrac{1}{2}xS_{ABC}}=\dfrac{3}{4}\)

2 tg MNC và tg ACM có chung MC nên

\(\dfrac{S_{MNC}}{S_{ACM}}=\) đường cao từ N->MC / đường cao từ A->MC\(=\dfrac{3}{4}\)

2 tg NIC và tg AIC có chung IC nên

\(\dfrac{S_{NIC}}{S_{AIC}}=\) đường cao từ N->MC / đường cao từ A->MC\(=\dfrac{3}{4}\)

Mà \(S_{NIC}+S_{AIC}=S_{ACN}=66cm^2\)

\(\Rightarrow S_{NIC}=\dfrac{66}{3+4}x3\)