\(C=\frac{2\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}.\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=\)

\(=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)

=-46.54-2.46+46.54-2.54=

=-2(46+54)=-2.100=-200

\(\frac{2n}{n-2}=\frac{2\left(n-2\right)+4}{n-2}=2+\frac{4}{n-2}\)

2n⋮n-2 khi 4⋮n-2

\(\rArr\left(n-2\right)=\left\lbrace-4;-2-1;1;2;4\right\rbrace\)

\(\rArr n=\left\lbrace-2;0;1;3;4;6\right\rbrace\)

\(M<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots+\frac{1}{2020.2021}=\)

\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\cdots+\frac{2021-2020}{2020.2021}=\)

\(1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}=\)

\(1-\frac{1}{2021}=\frac{2020}{2021}=N\)

\(\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=a\left(b+m\right)-b\left(a+m\right)=\)

\(ab+am-ab-bm=m\left(a-b\right)\)

+ Nếu \(a>b\rArr m\left(a-b\right)>0\rArr\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

+ Nếu \(a

Gọi G là giao của AC với DM

Xét △BCD có

MB=MC (gt); OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mối đường)

=> G là trọng tâm của △BCD

\(\rArr\frac{CG}{OC}=\frac23\) Mà \(OC=\frac{AC}{2}\rArr\frac{CG}{OC}=\frac{CG}{\frac{AC}{2}}=\frac{2CG}{AC}=\frac23\rArr\frac{CG}{AC}=\frac13\rArr\frac{CG}{GA}=\frac12\)

Xét △SAC có

\(\frac{CG}{GA}=\frac12\left(\operatorname{cm}t\right)\)

\(NS=2NC\rArr\frac{NC}{NS}=\frac12\)

\(\rArr\frac{CG}{GA}=\frac{NC}{NS}\) => SA//NG (Talet đảo)

Mà NG∈(DMN) => SA//(DMN)

a2024b chia hết cho 45

=> a2024b đồng thời chia hết cho 5 và 9

a2024b chia hết cho 5 => b=0 hoặc b=5

+ Với b=0

=> a2024b=a20240 chia hết cho 9 => a=1

ta có số 120240 thỏa mãn đề bài

+ Với b=5

=> a2024b=a20245 chia hết cho 9 => a=5

ta có số 520245 thỏa mãn đề bài

ABCDEFIK

a/

AB//CD (cạnh đối hbh) => AE//CF (1)

\(AE=\frac{AB}{2};CF=\frac{CD}{2}\) và \(AB=CD\) (cạnh đối hbh)

\(\rArr AE=CF\) (2)

Từ (1) và (2) \(\rArr AECF\) là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

b/

C/m tương tự câu a ta cũng có AEFD là hbh

\(AE=\frac{AB}{2};AD=\frac{AB}{2}\rArr AE=AD\)

\(\rArr AEFD\) là hình thoi (hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau là hình thoi)

c/

AF//CE (cạnh đối hbh AECF) => IF//KE

C/m tương tự câu a ta cũng có BEDF là hbh

=>DE//BF =>IE//KF

=> EIFK là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Xét hình thoi AEFD có AF⊥DE (Trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc)

=> EIFK là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

d/

Khi EIFK là hình vuông

=> IE=IF

Mà \(IE=\frac{DE}{2};IF=\frac{AF}{2}\rArr DE=AF\)

Hình thoi AEFD có DE = AF => AEFD là hình vuông (Hình thoi có 2 đường chéo băng nhau là hình vuông)

=> ABCD là hình CN

ABCDMENHFPOIK

a/

\(\hat{ACK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => CK⊥AC

BH⊥AC

=> BH//CK (cùng ⊥AC) (1)

\(\hat{ABK}=90^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => BK⊥AB

CH⊥AB

=> CH//BK (cùng ⊥AB) (2)

Từ (1) và (2) => BHCK là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Do I là trung điểm BC => I là trung điểm của HK (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét △AHK

OK=OA=R; IK=IH => OI là đường trung bình của △AHK

=> \(OI=\frac{AH}{2}\rArr AH=2OI\)

b/

Ta có F và E cùng nhìn BC dưới 2 góc = nhau và \(=90^{o}\)

=> F và E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> B; F; C; E cùng nằm trên 1 đường tròn

c/ Xét tứ giác nt BFEC có

\(\hat{CFE}=\hat{CBN}\) (Góc nt cùng chắn cung CE)

Xét (O)

\(\hat{CBN}=\hat{CPN}\) (Góc nt cùng chắn cung CN)

\(\rArr\hat{CFE}=\hat{CPN}\)

Hai góc trên ở vị trí đồng vị => EF//NP

M A B D H C

a/

Xét tg vuông OAM và tg vuông OBM

OA = OB = R

OM chung

=> tg OAM = tg OBM (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

=> MA = MB => tg MAB cân tại M và ^OMA = ^OMB

=> OM vuông góc với AB (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

b/

Ta có

^ACD = 90^o (góc nt chắn nửa đường tròn) => AC vg với MD

OM vg với AB (cmt)

=> H và C cùng nhìn MA dưới 2 góc = nhau và = 90^o 

=> H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính MA => A; H; C; M cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Xét tứ giác nt AHCM có

^AMC + ^AHC = 180^o (trong tứ giác nt tổng 2 góc đối nhau = 180^o)

^CHB + ^AHC = ^AHB = 180^o

=> ^CHB = ^AMC => sinCHB = sinAMC

Xét tg vuông AMC có

cosAMC = MC/MA

sinCHB = sinAMC = AC/MA

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MA²

Xét tg vuông AMD

MA² = MC.DM (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông băng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

=> cosAMC . sinCHB = MC.AC/MC.DM

=> AC = DM.cosAMC . sinCHB