Đặt số cần tìm là \(\overline{ab}\)

Theo đề bài 

\(\overline{ab}=7x\left(a+b\right)+6\)

\(\Rightarrow10xa+b=7xa+7xb+6\)

\(\Rightarrow3xa-6xb=6\)

\(\Rightarrow a-2xb=2\Rightarrow b=\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{a}{2}-1\)

=> a=2 hoặc a=4 hoặc a=6 hoặc a=8

=> b=0 hoặc b=1 hoặc b=2 hoặc b=3

Các số thỏa mãn đk đề bài : 20; 41; 62; 83

\(\left|x+2\right|+y^2=0\) (1)

Do

\(\left|x+2\right|\ge0;y^2\ge0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x+2\right|=0\\y^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Gọi N là trung điểm CE, Xét tg CDE có

ME=MD (gt); NE=NC => MN là đường trung bình của tg CDE

=> MN//CD => MN//BC

Ta có

\(AD\perp BC\)

\(\Rightarrow MN\perp AD\)

Xét tg ADN có

\(MN\perp AD\left(cmt\right);DE\perp AC\left(gt\right)\) => M là trực tâm của tg ADN

\(\Rightarrow AM\perp DN\) (Trong tg 3 đường cao đồng quy)

Xét tg cân ABC 

\(AD\perp BC\Rightarrow BD=CD\) (Trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

Xét tg BCE có

BD=CD (cmt); EN=CN => DN là đường trung bình của tg BCE

=> DN//BE mà \(AM\perp DN\left(cmt\right)\Rightarrow AM\perp BE\)

Ta có \(\widehat{ACD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ADC có

\(\widehat{OAC}+\widehat{ADC}=90^o\)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o\)

Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (góc nt cùng chắn cung AC)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)

Ta có

\(S_{ABC}=\dfrac{BC.AB.AC}{4R}=\dfrac{BC.AH}{2}\Rightarrow AB.AC=2R.AH\)

Gọi H là giao của AM với BN => H là trực tâm tg ABC

\(\Rightarrow CH\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

\(DE\perp AB\left(gt\right)\)

=> CH//DE

Gọi K là giao của CH với MD, xét tg MDF có

CH//DE (cmt) => KH//DF \(\Rightarrow\dfrac{FH}{MH}=\dfrac{DK}{MK}\left(Talet\right)\) (1)

Ta có

\(MD\perp AC\left(gt\right);BN\perp AC\left(gt\right)\) => MD//BN

Xét tg BCN có

\(\dfrac{NH}{BH}=\dfrac{DK}{MK}\left(Talet\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{FH}{MH}=\dfrac{NH}{BH}\) => NF//BM (Talet đảo) => NF//BC

\(\left(x+y\right)\left(xy+7\right)=7\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\xy+7=-7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy+7=7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+y=-7\\xy+7=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+y=7\\xy+7=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Giải các trường hợp trên để tìm x;y phù hợp

\(P=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+30=\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+10\left(x-2y\right)+29\)

\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+25+\left(y-1\right)^2+4=\)

\(=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow P_{min}=4\)

\(x-y=-3\Leftrightarrow x+3=y\)

\(P=x^2\left(x+3\right)+y^2-x^2y-xy+x-4y+2003=\)

\(=x^2y+y^2-x^2y-xy+x-4y+2023=\)

\(=y^2-xy-3y+x-y+2023=\)

\(=y^2-y\left(x+3\right)+x-y+2003=\)

\(=y^2-y^2+\left(x-y\right)+2023=-3+2023=2000\)

Đề bài sai, sửa thành c/m \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}\)

\(\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}=\dfrac{1}{1+\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}=\sin^2\alpha\)