a/

Ta có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\widehat{NAB}=\widehat{NAC}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{NAB}\) (1)

\(AM=AB\left(gt\right)\) (2)

\(AC=AN\left(gt\right)\) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg AMC = tg ABN (c.g.c) => CM = BN

b/

Gọi I là giao của BN với AC; K là giao của BN với CM

Ta có

tg AMC = tg ABN (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{ACM}\) (4)

Xét tg vuông ANI có

\(\widehat{ANB}+\widehat{AIN}=90^o\) (5)

\(\widehat{AIN}=\widehat{BIC}\) (góc đối đỉnh) (6)

Xét tg CKI

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{ACM}+\widehat{BIC}=90^o\Rightarrow\widehat{CKN}=90^o\Rightarrow CM\perp BN\)

\(\dfrac{3a+2b-c}{a+b}=\dfrac{3b+2c-a}{b+c}=\dfrac{3c+2a-b}{c+a}=\)

\(=2+\dfrac{a-c}{a+b}=2+\dfrac{b-a}{b+c}=2+\dfrac{c-b}{c+a}=\)

\(=\dfrac{a-c}{a+b}=\dfrac{b-a}{b+c}=\dfrac{c-b}{c+a}=\dfrac{a-c+b-a+c-b}{a+b+b+c+c+a}=0\)  (T/c dãy tỷ số bằng nhau)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{a^3}{2a.2a.2a}=\dfrac{1}{8}\)

\(\overline{a817b}⋮6\) => \(\overline{a817b}\) đồng thời chia hết cho 2 và 3

\(\overline{a817b}⋮3\Rightarrow a+8+1+7+b=a+b+16=a+b+1+15⋮3\)

\(\Rightarrow a+b+1⋮3\) (1)

\(\overline{a817b}⋮2\Rightarrow b=\left\{0;2;4;6;8\right\}\) 

Thay từng giá trị của b để tìm a sao cho thỏa mãn (1)

a/

ta có

\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{CAB}=90^o-30^o=60^o\)

Xét tg OBC có

OB=OC => tg OBC cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCB}=\widehat{ABC}=60^o\Rightarrow\widehat{BOC}=60^o\)

=> tg OBC là tg đều

Xét tg ABC và tg MOC có

BC=OC=R

AB=OM=2R

\(\widehat{ABC}=\widehat{MOC}=60^o\)

=> tg ABC = tg MOC (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{OCM}=90^o\Rightarrow MC\perp OC\)

b/

Xét tg vuông MOC có

\(MC=\sqrt{OM^2-OC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow MC=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=\)

\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

a/

Ta có 

\(BM\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\)

\(CN\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{ANC}=90^o\)

=> M và N cùng nhìn AH dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\)

=> M và N thuốc đường tròn tâm O đường kính AH với O là trung điểm của AH

b/ AH cắt BC tại D

Ta có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Xét tg vuông AHC có

\(\widehat{CAH}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Xét tg vuông AMH 

\(OA=OH\left(cmt\right)\Rightarrow OA=OH=MO=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông đường trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg OAM cân tại O \(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{OMA}\) (2)

Xét tg vuông BMC, c/m tương tự ta cũng có

\(IB=IC=MI=\dfrac{BC}{2}\)

=> tg ICM cân tại I \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{IMC}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{IMC}=\widehat{CAH}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OMI}=\widehat{AMC}-\left(\widehat{OMA}+\widehat{IMC}\right)=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow IM\perp OM\) => IM là tiếp tuyến với (O)

\(a^2+ab=c^2+bc\Leftrightarrow a\left(a+b\right)=c\left(b+c\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)=\dfrac{c\left(b+c\right)}{a}\)

\(a^2+ac=b^2+bc\Leftrightarrow a\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)=\dfrac{b\left(b+c\right)}{a}\)

\(K=\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\left(\dfrac{b+c}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{a}\right)=\dfrac{c\left(b+c\right)}{ab}.\dfrac{\left(b+c\right)}{c}.\dfrac{b\left(b+c\right)}{a^2}=\)

\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^3\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{2a^2}{2c^2}=\dfrac{3b^2}{3d^2}=\dfrac{2a^2-3b^2}{2c^2-3d^2}\) (1)

Từ

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2}{d^2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{2a^2-3b^2}{2c^2-3d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

Ta có

\(S\in DM\Rightarrow S\in\left(DMN\right);S\in\left(SAB\right)\) 

Trong mp (ABCD) DN kéo dài cắt AB tại P

\(P\in DN\Rightarrow P\in\left(DMN\right);P\in AB\Rightarrow P\in\left(SAB\right)\)

=> SP là giao tuyến của (DMN) với (SAB)

a/

Ta có

\(CD=BC+BD=3a+2a=5a\)

Xét tg vuông ABC và tg vuông DEC có \(\widehat{ACB}\) chung

=> tg ABC đồng dạng với tg DEC

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow DE.AC=AB.CD=2a.5a=10a^2\)

b/

Xét tg vuông ABC có

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{9a^2-4a^2}=a\sqrt{5}\) (Pitago)

Ta có

\(DE.AC=10a^2\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow DE=\dfrac{10a^2}{AC}=\dfrac{10a^2}{a\sqrt{5}}=2a\sqrt{5}\)